是否可以将具有n 行和n 列的matrix A 分解为m [n x n] 置换矩阵的总和。其中 m 是 matrix A 中每一行和每一列中 1 的数量？
更新：
是的，这是可能的。我遇到了这样一个示例，如下所示 - 但是我们如何概括答案？
【问题讨论】：
您想要的称为1-factorization。一种算法是反复寻找完美匹配并将其删除；可能还有其他人。
【讨论】：
对于第一个置换矩阵，取第一行的第一个 1。对于第二行，取你还没有的列中的第一个 1。对于第三行，取你还没有的列中的第一个 1。等等。对所有行执行此操作。
你现在有一个置换矩阵。
接下来从原始矩阵中减去您的第一个排列矩阵。这个新矩阵现在每行和每列都有m-1。所以重复这个过程m-1 更多次，你就会得到你的m 置换矩阵。
您可以跳过最后一步，因为每行和每列都有一个 1 的矩阵已经是一个置换矩阵。无需进行任何计算。
这是一种并不总是有效的贪心算法。我们可以通过稍微改变选择规则来使其工作。见下文：
你的例子：
1 0 1 1
A = 1 1 0 1
1 1 1 0
0 1 1 1
在第一步中，我们为第一行选择 (1,1)，为第二行选择 (2,2)，为第三行选择 (3,3)，为第四行选择 (4,4)。然后我们有：
1 0 0 0 0 0 1 1
A = 0 1 0 0 + 1 0 0 1
0 0 1 0 1 1 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0
第一个矩阵是一个置换矩阵。第二个矩阵的每一行和每一列都有两个 1。所以我们按顺序选择：(1,3)、(2,1)、(3,2) 和......我们遇到了麻烦：第 4 列中包含 1 的行已经被使用了。
那么我们该如何解决这个问题呢？好吧，我们可以跟踪每列中剩余的 1 的数量。我们没有选择第一列未使用的列，而是选择剩余 1 数量最少的列。对于上面的第二个矩阵：
0 0 1 1 0 0 X 0 0 0 X 0 0 0 X 0
B = 1 0 0 1 --> 1 0 0 1 --> 0 0 0 X --> 0 0 0 X
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 X 0 0 0
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
------- ------- ------- -------
2 2 2 2 2 2 X 1 1 2 X X X 1 X X
所以我们将在第二步中选择第 4 列，在第 3 步中选择第 1 列，在第 4 步中选择第 2 列。
总是只有一列，剩下一列 1。其他 1 必须在 m-1 之前的行中被删除。如果您有两列这样的列，那么之前必须选择其中一列作为最小列。
【讨论】：
这可以使用递归（回溯或深度优先遍历）算法轻松完成。以下是其解决方案的伪代码：
void printPermutationMatrices(const int OrigMat[][], int permutMat[], int curRow, const int n){
//curPermutMatrix is 1-D array where value of ith element contains the value of column where 1 is placed in ith row
if(curRow == n){//Base case
//do stuff with permutMat[]
printPermutMat(permutMat);
return;
}
for(int col=0; col<n; col++){//try to place 1 in cur_row in each col if possible and go further to next row in recursion
if(origM[cur_row][col] == 1){
permutMat[cur_row] = col;//choose this col for cur_row
if there is no conflict to place a 1 in [cur_row, col] in permutMat[]
perform(origM, curPermutMat, curRow+1, n);
}
}
}
以下是从主函数调用的方法：
int[] permutMat = new int[n];
printPermutationMatrices(originalMatrix, permutMat, 0, n);
【讨论】：