O(n) 中的 Eratosthenes 筛答案

【问题标题】：Sieve Of Eratosthenes in O(n)O(n) 中的 Eratosthenes 筛
【发布时间】：2020-06-01 18:13:06
【问题描述】：

我最近看到一篇文章声称它可以使用有效的埃拉托色尼筛法找到 O(n) 中小于 n 的所有素数。但是我无法看到它是 O(n)。

有人可以帮忙吗？

【问题讨论】：

我们不会去其他网站获取您的问题所需的信息。所有相关细节都需要在问题本身中出现，以便将来的读者可以使用，以防将来链接失效。您可以使用该链接作为附加参考，但所有相关信息都需要在此处发布。有关详细信息，请参阅help center。
如果它比 O(n log log n) 更好，那么它不是 Eratosthenes 的筛子。如果它的规模没有超过某个（按照现代标准相当低的）上限，那么它的声明就不会真正渐近成立。
但我没有任何权利从该站点重新发布代码。

【解决方案1】：

Eratosthenes 的正常筛子是 O(n log log n)。

Paul Pritchard 在 O(n) 甚至 O(n / log log 中运行的类似于 Eratosthenes 的筛子上做了一些工作n）。它们实施起来很棘手，尽管理论上的时间复杂度有所提高，但运行筛子所涉及的簿记使它们比普通的 Eratosthenes 筛子慢。

我在my blog 讨论一个简单版本的 Pritchard 筛子。

【讨论】：

【解决方案2】：

它是 Gries 和 Misra (1978) 筛的一个版本，它是一个 O(n) 筛。可以在这里找到更好的描述：

有关该领域专家对此类筛子的更多理论研究，请参阅 Pritchard 的论文：

Pritchard 以其亚线性筛算法和论文以及其他早期贡献而闻名。

GfG 的版本使用了大量的额外内存。 CP 的版本使用较少。与 SoE 的典型字节或位实现相比，两者都巨大。在 10^9 时，它使用的内存比简单的位阵列单片 SoE 多 60 倍以上，速度也减半，即使使用 uint32_t 类型也是如此。

因此在实践中它比简单的 4 行单片 SoE 慢，这通常是我们在进入有趣的优化（分段筛子、轮子等）之前开始的地方。如果你真的想要因子数组，那么这很有用。它对学习和实验也很有用，尽管 GfG 文章实际上除了提供代码之外并没有做太多事情。 CP 页面确实回顾了一些历史记录和一些内存/速度分析。

【讨论】：