在使用 Haskell 实现 Eratosthenes 筛法中，为什么 3,5,7.. 的倍数没有从列表中删除？

Question

我目前正在自学 Doets 和 Eijck 所著的《Haskell Road to Logic, Maths and Programming 一书，我正在阅读第 3 章。

在本章中，作者提供了实现埃拉托色尼筛法算法的Haskell代码，我不喜欢他们的实现，所以我尝试给出自己的实现；但是，我的代码版本确实只删除了 2 的倍数，我无法找出原因。代码如下：

sieve :: [Int] -> [Int]
sieve (0:xs) = sieve xs
sieve (x:xs) = x : sieve (mark x 2 xs)
 where
 mark :: Int -> Int -> [Int] -> [Int]
 mark n k (y:ys)
  | y == n*k = 0 : (mark n (k+1) ys)
  | otherwise = y : (mark n (k) ys) 

输出是

*Ch3> sieve [2..]
[2,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,...

那么，为什么代码没有对其他数字的倍数进行相同的删除操作，例如 3,5,7.. ？

Answer 1

简答：mark 中的计数器 k 不会为 n > 2 增加。

mark x 2 [2..] 正确地从列表中删除了偶数，因此下一步是调用sieve [3,5..]，相当于3:sieve (mark 3 2 [5,7..])，让我们看看这里发生了什么。

mark 3 2 [5,7..]（可能）尝试从列表中删除所有3 的倍数，但它会逐步执行此操作，首先尝试从列表中删除 6。但是，由于列表仅包含奇数，因此永远不会从列表中删除 6，并且第一种情况总是失败。代码继续检查 6，从不向上移动到删除 9。

同样，25 永远不会被删除，因为代码只会尝试从列表中删除 2*5。