找到一个数是素数，为什么检查到 n/2 更好。 n后半段避免numbres的原因是什么答案

【问题标题】：To find a number is prime, Why checking till n/2 is better. What is the reason for avoiding numbres in second half of n找到一个数是素数，为什么检查到 n/2 更好。 n后半段避免numbres的原因是什么
【发布时间】：2016-09-10 19:01:43
【问题描述】：

要检查一个数是否为素数，最简单的方法是尝试将该数除以 2 到 n，如果任何操作得到余数为 0，那么我们说给定的数不是素数。但是最好只在 n/2 之前进行划分和检查（我知道更好的方法是直到 sqrt(n) ），我想知道跳过后半部分的原因。

如果我们需要检查数字 11 是否是素数， 11/2 = 5。如果我们在这两种情况下都没有做 11/6 或 11/7 或 11/8 或 11/9 或 11/10，我们得到余数为 0。任何给定的数字 n 也是如此。

回避下半场的原因是这个吗？ “如果你将给定数字除以任何超过给定数字一半的数字，余数永远不会为0，或者换句话说，超过给定数字一半的数字都不能除掉给定数字”

请帮我看看是否正确

【问题讨论】：

其实下半场还可以越狱。 :) 但是，假设您有一个数字 x。它可以除以 2, 3, ..., x/2 。如果你不考虑 1 和 x，这就是全部。 x % y = 0 x = y * z，但如果你取 y > x/2 => z < 2 并且唯一的整数 0 < z < 2 是 1。所以，你不关心它，因为每个数字x = x * 1。
是的，你是对的。有人可能会说数字的根可能就足够了。
没有必要检查 SQRT(n)，因为如果该范围内的任何数字除以 n，那么余数将小于 SQRT(n)，并且已经被检查过。
感谢@ROMANIA 以数学方式解释它。这让我更清楚了。

标签： algorithm primes

【解决方案1】：

因为，不会使其成为素数的最小倍数是 2。如果您检查了从 0 到 n/2 的所有数字，剩下的可能会起作用的倍数是多少？如果 2 的倍数大于 n，则 3 或 4 等的倍数也会大于 n。

所以任何数 N 的最大因数必须是

所以是的，取 N/2，并检查所有小于或等于 N/2 的整数。因此，对于 11，您将检查所有小于 5.5 的整数，即 1、2、3、4 和 5。

平方根在这里解释： Why do we check up to the square root of a prime number to determine if it is prime?

这个问题以前也有人问过。

【讨论】：

谢谢@PaulD 实际上我已经通过平方根链接，这个问题是为了知道跳过大于 n/2 的数字的原因。你回答了。 :)

【解决方案2】：

要将数字n 分解，您必须除以另外两个整数，分别称为a 和b。这两个数字都必须为 2 或更大，因此检查大于 n/2 的数字没有任何意义，它们不可能均分。

是的，sqrt(n) 更有效，因为如果a 大于 sqrt(n)，那么b 必须更小，而且您已经检查过了。

【讨论】：

【解决方案3】：

目的- 表明一个合数的因数（不包括1和数本身）属于集合{2, 3, 4, 5, 6....., [n/2]}，其中[] 表示最大整数函数。

证明：

假设合数为n。让它表示为两个因子 a、b 的乘积（都不等于 1 或 n，因为我们确定 1 和 n 都将整除 n，因此 a 和 b 可能是的最小自然数是 2）。

 n=a x b

让我们假设 a>[n/2]。

 Then  b=n/a this implies that b<2

（例如，假设 n=39 然后 a>[39/2]=19。假设 a 为 20（大于 19）然后 b=39/20=1.95，这对于两者的最小可能值是不可能的a 和 b 都将为 2（根据我们的假设），因为不满足 a=20 的条件，进一步增加 a 将使 b 越来越小于 2。同样，可以将思维过程扩展到所有复合数字！）

这是不可能的，因为最小的自然数 a 和 b 可能是 2。

因此，我们的假设是错误的，因此 a 和 b 都必须属于集合 {2, 3, 4, 5, 6....., [n/2]}。

【讨论】：