随机多项式

Question

我需要证明存在随机多项式 TM M，它使用 O(log(n)) 空间 s.t。

对于输入 G,s,t，其中 G 是有向图，s,t 是 G：如果有从 s 到 t 的路径，那么Pr[M(G,s,t) = 1] ≥ 1/nⁿ
否则Pr[M(G,s,t)=1] = 0

我尝试每次随机选择一个邻居，但我想不通为什么概率是1/nⁿ，
而且我不确定迭代次数。

还有一个问题：
我需要使用上述结果以及我有使用O(log k) 空间的“随机计数器”这一事实，并且可以计数到2<sup>k</sup>，以表明：

如果存在使用O(log n) 的随机多项式 TM M，则 L 在 LN 中 空间和对于每个输入 x，M 将发现和：如果 x 在 L 中，则 Pr[M(x) = 1] ≥ 1/2 否则Pr[M(x) = 1] = 0

Answer 1

我只会回答第一个问题，因为这应该是每个帖子一个问题。

算法：

1. 从顶点s开始
2. 将计数器设置为零。
3. 选择一个随机邻居v。 （并增加计数器）
4. 检查v是否等于t。
5. 如果不选择另一个随机邻居v。 （增加计数器）
6. 重复 3. 和 4. 直到找到 t 或计数器到达 n。 （或者可能是c⋅n，其中c 是一个常数）

为此，您只需保存 3 个顶点 (s,v,t) 和计数器。如果计数器存储为二进制数，则需要log₂(n) 位。所以这在O(log(n)) 空间中运行。

如果没有从s 到t 的路径，您将永远不会得到s 的邻居，即t，所以Pr[M(G,s,t)=1] = 0 成立。
如果存在一条路径，则找到它的概率将是选择正确邻居的概率的乘积。所以最坏的情况是g是一个完全图，所以evert顶点有n-1邻居。路径不能超过n 顶点。所以让[s,v₁,v₂,...,v<sub>m</sub>,t] 成为从s 到t 的路径，m < n。我们得到了

Pr[M(G,s,t) = 1] ≥ Π_k=1,...,m 1/|邻居(v_k)| ≥ Π_k=1,...,m 1/(n-1) ≥ Π_k=1,...,m 1/n ≥ Π_k=1,...,n 1/n = 1/nⁿ