如何通过高效算法获得有限集合上的所有代数关联运算？答案

【问题标题】：How to get all algebraic associative operations on a finite set by efficient algorithm?如何通过高效算法获得有限集合上的所有代数关联运算？
【发布时间】：2014-07-09 16:25:54
【问题描述】：

对一组 2 个元素进行二元运算的次数是 2^(2*2)=16。
该集合上的关联二元运算数仅为 8。

对一组 3 个元素进行二元运算的次数为 3^(3*3)=19683。
该集合上的关联二元运算数仅为 113。如何知道n个元素的集合有多少个关联二元运算？

另外，为了得到这113个操作并写入文件，还需要编写一个程序。
如果我将尝试获取所有 19683 操作，然后检查所有 19683 操作的关联属性“a*(bc)==(ab)*c”，这将有效，但这n=4 个元素应该需要很长时间！
如何编写一个高效的算法来解决这个任务？
请帮帮我！

【问题讨论】：

您的问题范围很广，而且可能也不太关注 SO。 SO 是关于编程，而不是关于组合学。
@JensGustedt 这个问题更多的是关于算法而不是组合。当然，您需要组合数学来分析算法（一个简单的实现在复杂性上类似于 O(n^(n^2))），但这与组合数学无关。我同意这篇文章可能更适合programmers SE，因为他们在their FAQ 中特别提到了算法。
@bheklilr：嗯，SO 至少有一个algorithm tag（还有一个用于抽象代数的标签，甚至还有一个用于半群的标签）。但我认为，它太宽泛了，一个好的答案可能会很长。最后，到目前为止，OP 还没有尝试过任何事情（这是一个“给我算法”的问题）。 IremadzeArchil：也许math.stackexchange.com？实际上，您是在问“存在多少具有 n 个元素的半群？”
见mathoverflow.net/q/110211。
关注oeis.org/A023814，或许可以找到一些不错的资源

标签： c algorithm modeling abstract-algebra semigroup

【解决方案1】：

这不仅仅是设计自己的算法，而是数学模型查找器的任务。对于这个任务，我特别推荐mace4，这是the LADR library 的一部分。它专门针对这样的代数问题进行了调整。输入（我们将其命名为 semigroups.in）如下所示：

formulas(sos).
  (x * y) * z = x * (y * z).
end_of_list.

然后通过mace4 -n 4 -N 4 -m 10000 <semigroup.in 运行它（查找所有 4 元素模型并打印多达 10000 个）会产生类似的长输出

...

============================== MODEL =================================

interpretation( 4, [number=2331, seconds=0], [

        function(*(_,_), [
                           1, 2, 3, 3,
                           2, 3, 3, 3,
                           3, 3, 3, 3,
                           3, 3, 3, 3 ])
]).

============================== end of model ==========================

============================== STATISTICS ============================

For domain size 4.

Current CPU time: 0.00 seconds (total CPU time: 0.11 seconds).
Ground clauses: seen=64, kept=64.
Selections=2132, assignments=8520, propagations=6194, current_models=2331.
Rewrite_terms=210696, rewrite_bools=65151, indexes=11452.
Rules_from_neg_clauses=586, cross_offs=3767.

============================== end of statistics =====================

User_CPU=0.11, System_CPU=0.26, Wall_clock=0.

Exiting with 2331 models.

如您所见，它非常快。

该库包含许多其他工具，例如isofilter，可让您过滤代数的同构变体等。

【讨论】：

Wall_clock=0 显然，吹牛是这个库原生支持的特性。他们真的什么都想好了……
@ParthianShot 这似乎更像是一个未实现的功能。