一个点在图的内部还是外部（顶点和边）？答案

【问题标题】：A point is inside or outside a graph (vertices and edges)?一个点在图的内部还是外部（顶点和边）？
【发布时间】：2013-10-18 08:47:52
【问题描述】：

我有一个图 G 由边 {E} 和顶点 {V} 组成。 {V} 中的顶点以二维坐标表示。该图是平面的，这意味着没有两条边相交。

图形G 有一些循环，假设一个点位于图形内部，如果它落入G 的循环之一。循环示例可能是A---B---C---A，其中A、B 和C 是顶点，--- 是边。

现在给定一个点(x, y)，我如何确定它是在图表内还是在图表外？最好或最简单的方法是什么？

我正在使用 Python，如果有帮助的话。

更新：是的，所有的边都是直线。

【问题讨论】：

循环如何表示？如果它们是圆，你最好问如何检测一个点是否在圆内。
@goncalopp 请查看已编辑。
@mavErick：所有的边都是直线吗？
@HighPerformanceMark 他完美地定义了问题中“内部/外部”图表的含义（假设（v1，v2）是它们之间的直线）
我的意思是 geometric 表示。图是一个数学概念，顶点、边和环也是如此。询问如何检测一个点是否在图形/循环内是没有意义的。如果你想解决一个几何问题，你应该这样描述它。

标签： python algorithm graph-theory

【解决方案1】：

@Peter de Rivaz 提供了一个基本的见解，尽管没有证据：如果它在由图的外部顶点形成的外壳内，则该点在循环内。我们可以通过证明来证明这一点：

船体内部的任何点都在循环内
船体外的任何点都不在任何环内

第一个很容易证明：船体内部的任何一点都在一个循环内，因为船体本身就是一个循环。

第二个可以通过reductio ad absurdum来证明。非常非正式地，对于外壳外部的点要在循环内，外壳外部至少需要一个顶点，并且它与循环内至少有两个其他顶点形成一个循环，使得该点是在同一个循环内。但是，循环之外不能有任何顶点，因为根据定义，所有顶点都在循环内部。因此，根据reductio ad absurdum，在任何循环内都没有船体外部的点。

既然我们确定我们有一个正确的方法来测试我们想要的东西，我们仍然需要一个算法来判断一个点是否在外壳内。这可以通过ray casting algorithm 的简单扩展来实现。

基本上，我们从所有顶点的列表开始，按垂直坐标排序。然后，对于每一对连续的顶点，我们“创建”一条在它们之间的水平线，check what is the first and last edge that the line intersects。这两个边缘是船体的一部分。如果测试点在这两个边缘中的任何一个之间，它将在船体内部。

这是前 3 次迭代的图形表示：

【讨论】：

【解决方案2】：

由于图形是平面的，因此您可以通过跟踪每个连接的顶点集的轮廓，然后测试您的点是否在这些多边形中。

这张图片说明了这个想法：

红线是代表左侧连接组件轮廓的多边形，而绿线是代表右侧组件轮廓的多边形。

当且仅当它在其中一个轮廓内时，您的点才会在循环内。

【讨论】：

【解决方案3】：

首先，我会在我的图表中找到设定的循环（循环）。为此，请参阅此 SO 问题Finding all cycles in undirected graphs

然后计算最大循环集，即那些不包含在另一个循环中的循环（也许您可以同时执行前两个步骤）。

一旦你有了最大循环，这就是检测多边形内是否有一个点的问题。存在各种方法，例如 - 画一条线和交点的边数 - 从该点到多边形顶点的角度总和（0° -> 外部，360° -> 内部）。

见How can I determine whether a 2D Point is within a Polygon?

【讨论】：