确定一组点是在正方形的内部还是外部

Question

我有两个：

bool isPointOnShape(int a, int b)
{

}

bool isPointInShape(int a, int b)
{

}

假设我有一个正方形，第一个点（左下角）是 x,y (0,0) 第二个点（左上角）是 (0,2)，第三个是 (2,2)，第四个是 (0 ,2)。

形状上的点是 (0,1) (1,2) (2,1) (1,0)，形状上的点是 (1,1)

如何找出 shape / in shape 上的点并返回一个真值，以便将其存储在某处？

Answer 1

我将为任何可以分成直线段的形状提供通用解决方案。

所以，正如您可能已经猜到的那样，我将首先将您的“形状”视为完成循环的段列表。或者简单地放置一个表示循环的点的圆形列表，例如，您的正方形将是这个点列表：

0, 0
0, 2
2, 2
2, 0

请注意，我们认为从每个点到下一个点都有段，并且最后一个点连接到第一个点。此外，我们要求没有连续的点是相等的，也不是第一个和最后一个。如果有，则必须在继续之前将其删除。

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现在，我们可以确定每个段的边界框。例如给定这个段：

a = (0, 2)
b = (2, 2)

那么 x 中的值范围是 [0, 2]，y 中的值范围是 [2, 2]，这就是该段的边界框。

接下来你需要的是线段的导向向量。为此，首先计算段的长度：

length = sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y))

然后：

director.x = (a.x - b.x)/length
director.y = (a.y - b.y)/length

注意1：当长度为0时，你有一个无效的段。这就是为什么我们不想重复点。

注意2：使用导向向量而不是使用直线方程会更容易。

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现在，给定一个点 p，您可以确定该点是否在一个段中（如果它是列表中的一个点）。对于其余的情况，我们首先查看它是否在轴对齐的边界框内。只需检查范围即可：

if
(
    (p.x >= box.left && p.x <= box.right) &&
    (p.y >= box.top && p.y <= box.bottom) // with origin at the top-left corner
)
{
     //It is inside of the bounding box
}

如果是，那么我们计算点到线的距离，如果是 0 那么就上线了。现在，由于浮点运算，您可以测试距离是否小于或等于 epsilon，其中 epsilon 是一个非常小的数字。

我们使用这个公式：

distance vector = (a - p) - ((a - p) · director) * director
distance = the norm of distance vector

其中“·”表示点积，“*”表示标量积。

剩下的就是迭代段，为每个段计算距离，如果任何人的距离小于 epsilon，则该点位于“形状上”。

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好的，但是“形状”呢？

好吧，借助拓扑学的一个小技巧，我们可以确定一个点是否在内部。这与 Windows 用于填充多边形或多段线的算法相同（例如在 Microsoft Paint 中徒手决定选定区域内的内容）。

是这样的：

计算从外部到达该点必须经过的路段数。如果数字是对的，那么它在外面，如果它是奇数，那么它在里面。

您可以选择从哪个方向到达该点。我选左边。

再一次，您将遍历这些段。对于每一个，我们需要确定它是否在垂直范围内。为此使用边界框：

if ((p.y >= box.top && p.y <= box.bottom))
{
     //In the vertical range
}

现在，确定该段是在左侧还是右侧：

if (p.x < box.left)
{
     //The segment is at the left
}
else if (p.x > box.right)
{
     //The segment is at the right
}
else
{
     //The segment is close, need further calculation
}

如果段很近，我们需要计算到该段的向量距离并检查它的方向。

向量距离？好吧，我们已经有了它，我们正在用它的规范来确定距离。现在，不是采用范数，而是验证 x 坐标的符号。如果小于0，则为右，如果大于0，则为左。如果为0...则表示该段是水平的（因为距离向量始终垂直于该段），您可以跳过该段*。

*：实际上，如果段是水平的，并且在垂直范围内，则表示它在该段处。段是否“成形”？

现在，您需要计算左侧的段数，如果是奇数，则该点位于形状内部。否则就不行了。这也可以通过向上、向右或向下的段来完成。我刚刚选了左边。

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对于迭代所有段的成本很高的大型形状，您可以将段存储在一些空间分区数据结构中。这超出了本文的范围。

Answer 2

如果我假设你有一个 Rectangle 类并且这个类有成员 bottomLeft 和 topRight，你可以这样写：

bool Rectangle::isPointOnShape(int x, int y) {
    if (x == bottomLeft.x || x == topRight.x)
        if (y > bottomLeft.y && y < topRight.y)
            return true;

    if (y == bottomLeft.y || y == topRight.y)
        if (x > bottomLeft.x && x < topRight.x)
            return true;
}

bool Rectangle::isPointInShape(int x, int y) {
    bool inX = false;
    bool inY = false;
    if (x > bottomLeft.x && x < topRight.x)
        inX = true;

    if (y > bottomLeft.y && y < topRight.y)
        inY = true;

    return (inX && inY);
}

如果你的形状不是矩形，这个功能当然会有所不同。