我怎样才能证明这个大符号的陈述？

Question

如何证明：

x^7 = O(x^10)
x^10 = O(x^7)?

我无法证明这个说法。

Answer 1

我们来看看大O表示法的定义。

f ∈ O(g) <=> (∃ x) (∃ c > 0) (∀ y > x) (|f(y)| <= c⋅|g(y)|)

右侧可以表述为“商f/g 有界为足够大的x”。

所以为了证明f ∈ O(g)，查看商，选择一个（较大的）x 并尝试找到一个界限。 对于第一种情况，商是

x⁷ / x¹⁰ = 1/x³

x ≥ 1 的界限很明显。

要反驳f ∈ O(g)，请查看商并证明它在每个区间[x, ∞) 上假定任意大模的值。假设任意一个c > 0，并证明对于任何x，都有一个y > x 和|f(y)/g(y)| > c。

这应该提供足够的提示。

如果不是：x³ > c 为 x ≥ c+1。