如何计算以下算法的 Big-O 复杂度？答案

【问题标题】：How to calcualte the Big-O complexity of the following algorithm?如何计算以下算法的 Big-O 复杂度？
【发布时间】：2020-08-29 18:12:31
【问题描述】：

我一直在尝试计算以下算法的 Big-O，结果对我来说是 O(n^5)。我不知道正确答案是什么，但我的大多数同事都得到了 O(n^3)。

for(i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=1 ; j <= i*i ; j++)
    {
        for(k=1 ; k<= n/2 ; k++) 
        {
        x = y + z;
        }
     }
}

我所做的是从最里面的循环开始。所以我计算出最里面的循环将运行n/2 次，然后我转到第二个嵌套for 循环，它将运行i^2 次，从最外面的循环将运行i 次，因为i 与1 不同到n。这意味着第二个嵌套 for 循环将总共运行 Sigma(i^2) from i=1 to i=n，因此总共运行 n*(n+1)*(2n+1)/6 次。所以代码运行的总量是n^5的顺序，所以我得出的结论是顺序必须是O(n^5)。这种方法和我计算的答案有问题吗？

我刚开始使用 DSA，这是我的第一个任务，因此对我可能犯的任何基本错误表示歉意。

【问题讨论】：

第三个（内部）循环运行n/2 次，每次运行第二个循环。第二个循环运行(2n^3 + 3n^2 + n)/6 次。您如何从那里到达“n^5 的顺序”？
我乘以所有循环运行的时间。第一个循环运行n 次，第二个循环运行(2n^3 + 3n^2 + n)/6 次，第三个循环运行n/2 次。所以乘法时 n 的最大次数是 5。
这更适合cs.stackexchange.com。
不，第二个运行i^2 次，每次运行第一个运行，(2n^3 + 3n^2 + n)/6 次；不要再乘以 n。
第二个循环的顺序是n^3。第三个循环运行n/2 次每次第二个循环运行，所以整个事情的顺序是n^4。至于说明何时乘法或加法的确切一般规则......我必须考虑那个。

标签： algorithm time-complexity big-o computer-science complexity-theory

【解决方案1】：

内部循环总是具有相同的迭代次数 (n/2)，因为它独立于 i 和 j。就其本身而言，它的复杂度为 O(n)。

另外两个循环导致内部执行的平方序列 (1 + 4 + 9 + ...) 的总和。

这个平方和对应square pyramidal number，阶数为O(n³)。

内循环的顺序是O(n)，所以我们得到O(n⁴)。

【讨论】：