为什么 y 组合器提供图灵等价性？答案

【问题标题】：Why does the y-combinator provide Turing equivalence?为什么 y 组合器提供图灵等价性？
【发布时间】：2014-09-30 12:04:54
【问题描述】：

This answer 说

这是 lambda 演算中的一个基本 y 组合子：

Y f = (\x -> f (x x)) (\x -> f (x x))

即 Clojure 中的类似内容：

(defn Y [f]
  ((fn [x] (x x))
   (fn [x]
     (f (fn [& args]
          (apply (x x) args))))))

(def fac
     (fn [f]
       (fn [n]
         (if (zero? n) 1 (* n (f (dec n)))))))

(def fib
     (fn [f]
       (fn [n]
         (condp = n
           0 0
           1 1
           (+ (f (dec n))
              (f (dec (dec n))))))))

这是 y-Combinator 的另一个表达式（参数的第 2 步）
我们已经编码了图灵完备的语言（因为我们使用了 y-Combinator）（论证的第 3 步）

我的问题是：为什么 y-combinator 提供图灵等价性？ 看来这只是一个论点的假设。

【问题讨论】：

标签： clojure lambda-calculus turing-complete y-combinator

【解决方案1】：

由于只有 λ 已经足够图灵完备，Y Combinator 只是库代码。它提供了简单的自递归。

我读到的问题是，是否可以通过消除自应用来消除 λ 演算中的图灵完整性，问题显然是否定的，因为没有办法可靠地检测自应用，除非实际运行微积分（停止问题）。

这个论点只是展示了如何在没有明显自递归的情况下构建 Y，并强调 Y 只是整个模式系列中最精简的版本。

对于不是图灵完备的 lambda 演算子集的真正答案是：总函数。

【讨论】：

【解决方案2】：

首先。要成为图灵等价物，您不需要太多。在 BrainF**ck 中，+、-、<、>、[ 和 ] 就足够了。如果您要从 LISPy 语言中删除功能并首先删除所有循环和递归调用（Fortran 在 60 中没有递归），它仍然是图灵等效的吗？

是的。这是因为您同时具有向上和向下的高阶函数。有了它，您可以创建Y 并获得递归。使用递归，即使实现没有直接提供任何循环，它也将是图灵等价的。

是启用它的 Y 组合器吗？并不真地。您也可以使用call-with-current-continuation 进行循环，所以我会说它是启用它的高阶函数。如果您在没有高阶函数的语言中执行完全相同的操作，则无法创建 Y 并且无法计算所有可计算值。

【讨论】：