一个不可判定的问题是否等同于说它是 NP 难的？

Question

我了解如何证明停止问题是不可判定的。但是，我对为什么它是 NP-hard 感到困惑。一个不可判定的问题是否等同于说它是 NP-hard 问题？

Answer 1

如果从每个 NP 问题到该问题都存在多时间缩减，则称该问题为“NP 难”。

停机问题确实是 NP-hard，原因如下：

令 L 是一个 NP 问题，因为 L 在 NP 中，所以它是可判定的——因此有一个确定性的图灵机来判定 L，记为 M。现在我们可以创建 M'，它模拟 M 并停止 i.f.f M接受 x（其中 x 是输入）。输入 x 的归约结果为 (M', x)。

将归约表示为 R 并且确实 x 在 L i.f.f R(x) 在 H 中。

(M(x) = 1 => M'(x) 停止 => (M', x) 在 H.
M(x) = 0 => M'(x) 不会停止 => (M', x) 不在 H)

为什么是约简多项式？ M 的描述的大小可能非常大，但它是固定的。因此创建 M' 需要恒定的时间（可以将其视为 M' 在 R 中“硬编码”），因此减少是线性的，因此是多项式的。

由于归约的传递性（即，如果存在从 L1 到 L2 以及从 L2 到 L3 的（多项式/计算）归约（必须是相同的归约类型！），则存在从 L1 到 L3 的归约）足以证明从已知的 NP-hard 问题到新问题的简化，以证明新问题是 NP-hard，这是这样做的常用方法。在这个例子中，直接从定义中证明是很方便的。

对于您的另一个问题，答案是否定的。存在一个不可判定的问题，它不是 NP 难的。 你可以在这里看到一个证明： https://math.stackexchange.com/questions/642726/are-all-undecidable-problems-np-hard

请注意，如果 P=NP，则每个问题（平凡集除外）都是 NP 难的。所以证明假设 P != NP。