二叉树。识别 T 中的元素 v，使得 T 中的 k-1 个元素小于 v答案

【问题标题】：Binary Tree. Identify element v in T such that k-1 elements in T are smaller than v二叉树。识别 T 中的元素 v，使得 T 中的 k-1 个元素小于 v
【发布时间】：2013-09-28 01:10:48
【问题描述】：

我有这个问题需要解决。我不是在寻找答案，而是在寻找我应该去哪里的提示。我有一个算法，但不是 O(log n)。

给定二叉树 T 和一个不大于 T 中节点数的正整数 k，编写识别 T 中的元素 v 的伪代码，使得 T 中的 k-1 个元素恰好小于 v。你的代码应该花费时间最多与 T 的高度。

我这里的基本想法是我会首先检查左树，检查左树的大小。如果左树的大小大于 k-1，则继续向左搜索。否则我会搜索正确的。如果整个左树不包含具有 k-1 个元素的节点，那么我搜索右子树。问题是我知道这不是 O(log n)，因为最坏的情况是我必须搜索树中的每个节点。

我有什么遗漏吗？任何提示或帮助都会很棒，但请不要只给我答案。

【问题讨论】：

仔细查看您拥有的树结构，以及它附带的保证。如果不遍历子树，你知道它有多大吗？左子树中的所有内容是否都小于或等于当前节点的值？价值观是否不同？你知道一些关于子树的高度而不探索它们吗？ “T的高度”实际上与“log n”成正比吗？
我应该提到每个节点都包含一个元素大小，即以该节点为根的节点数。所以我可以通过查看它的 size 元素来知道一个子树有多大。并且左侧树中的所有内容都将小于当前节点的值。大小值并不总是不同的。可以有多个大小为 k-1 的节点。据我在课堂上学到的知识，树的高度总是与 log n 成正比。
在节点v向右移动时，需要将搜索值调整为k - (1 + size of left child tree of v)。除此之外，您可以在 O(tree height) 中进行下降，因为您可以使用该大小计数器在每个节点上做出正确的决定。
您能详细说明一下吗？我还是不明白。我仍然觉得它需要回到树上并检查右子树是否有左树大小为 k-1 的元素。假设我一直沿着左子树向下工作，检查每个左子树，直到到达空链接。我不应该检查右子树是否有左子树为 k-1 的元素吗？

标签： algorithm binary-tree binary-search-tree

【解决方案1】：

（我假设这棵树实际上是一个二叉搜索树，而不仅仅是任何旧的二叉树）

您的算法是O(d)，其中d 是树的最大深度。

这是因为每次进行比较时，您都会继续往下一层（假设您还没有找到该元素）。因此，您最多可以进行与树中的级别一样多的比较。

因此，除非您的树真的不平衡，否则您实际上不会查看每个元素。事实上，如果您可以假设树是平衡的，那么您就可以开始了（为什么？）。

【讨论】：

The correct algorithm 看起来与问题中描述的相似，但问题确实是 O(n)，而不是 O(d)。

【解决方案2】：

如果我们谈论的是常规二叉树，很容易证明您需要探索整个树才能找到这样的节点，所以我假设我们谈论的是二叉搜索树。

在二叉搜索树中，以下是小于节点N的：

节点 A，它的左孩子和它的所有后代，其中节点 B 是节点 A 的右孩子，节点 B 是节点 N 或其任何祖先。
```
    A
   / \
  X   B
 /     \
Y      ...
 \     /
  Z   N
```
A、X、Y 和 Z 都小于 N。（根据同样的规则，B 也小于 N）。
节点N的左子节点

我怀疑你只是假设所有孩子都更小。

**剧透警告**

算法：

正在寻找m 元素较小的节点...

从顶部开始。
令x = 左子树中的节点数（如果没有左子树则x = 0）
如果x = m，则返回当前节点。
如果x < m，则向左递归。
如果x > m，则设置m = m - x - 1并向右递归。

由于您只能向左或向右，并且节点数是恒定的（因为它是在节点级别上给出的），因此运行时间是 O(h) 其中 h 是树的高度，即 @987654330 @ 在平衡树中。

【讨论】：

【解决方案3】：

它的算法几乎与快速选择相同。根据左分支的大小递归到左分支或右分支。

Find(T, k) :=
    size(T.left) == k - 1 -> return T
    size(T.left) > k - 1 -> return Find(T.left, k)
    size(T.left) < k - 1 -> return Find(T.right, k - size(T.left) - 1)

问题中没有直接给出 size(T) 为 O(1)（但在 cmets 中澄清）。

这最多需要 height(T) 个步骤，因为在每个递归步骤中高度至少减少 1。

你也可以迭代地写这个：

Find(T, k) := 
   while size(T.left) != k - 1:
       if size(T.left) > k - 1:
           T = T.left
       else:
           T = T.right
           k -= size(T.left) + 1
   return T

【讨论】：