有 N 个节点的可能有序树的总数是多少？答案

【问题标题】：What are the total number of possible ordered trees with N nodes?有 N 个节点的可能有序树的总数是多少？
【发布时间】：2013-08-09 18:56:48
【问题描述】：

例如对于 N=3，我们可以通过将它们全部列出来轻松找到，但是当被要求提供任意 N 值时，我遇到了问题。

【问题讨论】：

这个问题似乎是题外话，因为它是关于数学的。考虑将其发布到 math.stackexchange.com。
en.wikipedia.org/wiki/Permutation
N=3 的答案是什么？ 5 还是 12？你能具体说明你的意思是什么树吗？二叉树，或任意的。
en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
例如三个节点是a,b,c； abc、cba、bac、cab、acb、bca；其中中间元素是根，左右元素是它的左右节点。

标签： algorithm tree structure computer-science catalan

【解决方案1】：

如果您正在查看二叉树，那么正如 mcdowella 所说，Choose(2n,n)/(n+1)（加泰罗尼亚数）就是答案。

如果您正在查看任意树，那么它可能是 n。 n^(n-2) = n^(n-1)，但我不完全确定。 Prufer's algo 告诉我们有 n^(n-2) 个标记的树，任何一个节点都可以作为根，因此我们得到数字 n^(n-1)。

【讨论】：

【解决方案2】：

这在 Knuth 第 1 卷（计算机编程的艺术：基本算法）第 2.3.4.4 节中有所介绍Knuth 找到 http://oeis.org/A000108

【讨论】：

【解决方案3】：

你可以像这样使用动态编程：
让我们fix element i as the root 的树。现在我们需要知道how many different trees 我们可以用the first (i-1) elements and the rest (n-i-1) elements 组成。
所以我们对(i-1)和(n-i-1)这两个子数组遵循相同的过程，得到以下递归：

公式：

乳胶：

树[n]&space;=&space;\sum_{i&space;=&space;2}^{i&space;=&space;n-1}&space;Trees[i-1]*Trees[n-i-1]

【讨论】：

【解决方案4】：

二叉树 (2n,n)/(n+1)（加泰罗尼亚数）作为答案如果标记为树而不是 n^(n-2) 棵树。

【讨论】：