确定性下推自动机与非确定性下推自动机

Question

您如何证明 a) 确定性下推自动机 (DPDA) 比有限自动机更强大，而比非确定性下推自动机更弱？

Answer 1

(1) 首先，证明任何可以被有限自动机接受的语言也可以被确定性下推自动机接受。回想一下，有限自动机接受的任何语言都被确定性有限自动机接受，确定性下推自动机可以简单地通过对其堆栈不做任何有趣的事情来模拟确定性有限自动机。接下来，显示 DPDA 接受的非常规语言。 0^n 1^n 是一个很好的候选。使用抽水引理或 Myhill-Nerode 定理证明这种语言是非常规的，然后展示推入 0 再切换到弹出 1 的 DPDA 的工作原理。

(2) 首先，请注意 NPDA 可以接受 DPDA 接受的任何语言，因为所有 DPDA 也是碰巧不使用非确定性的 NPDA。接下来，找到一种具有 NPDA 但没有 DPDA 的语言。字母表 {0, 1} 上的偶数长度回文可能有效。有一个简单的 NPDA 可以不确定地猜测输入的前半部分何时被读取并从推送切换到弹出。证明没有 DPDA 更具挑战性。也许你可以这样争论：假设有一个 DPDA。然后，在 DPDA 的任何配置中，只有一个转换是可能的。如果字符串 w 导致 DPDA 中的接受状态并清空堆栈，则 x00 可能导致接受或不接受状态（因为 x00 可能是或可能不是偶数长度回文）。然而，这是一个矛盾，所以我们的 DPDA 不存在。顺便说一句，对于 NPDA，同样的论点也失败了，因为可以有多条路径通过，所以一个失败的选择没有任何意义。