顶点覆盖的逼近算法

Question

如果P不等于NP，是否可以证明在最优顶点覆盖的k范围内不存在逼近算法，其中k是一个固定常数？

Answer 1

如果要根据附加误差来理解问题，则不存在这样的算法。针对一个矛盾，假设A就是这样一个算法；这意味着存在一个非负整数k，这样对于任何图形G，

A(G) <= tau(G) + k

成立，其中A(G) 是由A 生成的G 的顶点覆盖的基数，tau(G) 表示最小顶点覆盖的基数。就上述算法的存在而言，让k 被选为最小。特别是，我们有k => 1，否则顶点覆盖问题可以在多项式时间内解决，除非P=NP 成立，否则这是不可能的。

设G为任意图；通过获取k+1 的G 的同构副本来创建图形G'；那么

tau(G') = (k + 1) tau(G)

持有。此外，我们得到以下内容。

A(G') <= tau(G) + k
       = (k + 1) tau(G) + k

让G* 是G' 中G 的同构副本，其中最小的顶点覆盖由A 生成；让A(G*) 表示这个顶点覆盖的大小。针对矛盾，我们假设

A(G*) >= tau(G*) + k

持有。这意味着

A(G') >= (k + 1) A(G*)
      >= (k + 1) (tau(G*) + k)
       = (k + 1) (tau(G) + k)
       = (k + 1) tau(G) + k + k^2
       > (k + 1) tau(G) + k

持有，因为k > 0 持有。这与A 的近似质量相矛盾。这意味着

A(G*) < tau(G*) + k

持有。正如tau(G*) = tau(G) 成立的那样，这意味着我们已经使用A 生成了G 的顶点覆盖，其基数严格小于

tau(G) + k

这是一个矛盾，因为k 的选择最少，并且所有构造步骤都可以在多项式有界的运行时间内执行，从而导致运行时界限也是多项式有界的。