给定二维矩阵，找到元素的最小总和，使得从每一行和每一列中选择一个元素？

Question

找到 n*n 2D 矩阵的元素的最小总和，这样我必须从每一行和每一列中选择一个且只有一个元素？ 比如

4  12 

6  6

如果我从 1 行中选择 4 我不能从 1 行中也从 1 列中选择 12 ， 我只能从第 2 行第 2 列中选择 6。

同样，最小总和将是4 + 6 = 10，其中6 来自第二行第二列

而不是6 + 12 = 18 6 来自第二行第一列

也不允许4 + 12，因为两者都来自同一行

我想到了蛮力，一旦我从行和列中选择元素，我就无法选择另一个，但这种方法是 O(n!) .

Answer 1

定理：如果一个数被加到或减去 矩阵的任何一行或一列的条目， 然后选择元素以获得所需的结果矩阵的最小总和 是为获得所需的原始矩阵的最小总和而选择的相同元素。

Hungarian Algorithm（min-cost flow 问题的一个特例）使用这个定理来选择满足问题中给定约束的元素：

1. 从其所有条目中减去每一行中最小的条目 行。
2. 从所有条目中减去每列中最小的条目 其列。
3. 在适当的行和列之间画线，这样所有的 成本矩阵的零项被覆盖，并且最小数量的 使用这样的行。
4. 最优性测试
   一世。如果覆盖线的最小数量为 n，则可以进行最佳的零分配，我们就完成了。
   ii.如果最小覆盖线数小于 n，则最优 还不可能分配零。在这种情况下，请继续执行第 5 步。
5. 确定未被任何行覆盖的最小条目。减去 此条目来自每个未覆盖的行，然后将其添加到每个覆盖的行 柱子。返回第 3 步。

请参阅this example 以获得更好的理解。

O(n⁴)（容易且快速实现）和 O(n³)（更难实现) 实现详细解释here。