从矩阵的每一行和每一列中选择一个元素，并且最小化总和

Question

如果你有一个NxN的正整数矩阵，并且要求你从每一行每一列中只选择一个元素，使得所选择的元素之和最小化，如何解决？

我认为这是关于动态编程的。我已经尝试使用 memoization 最小化O(n!) 的时间：

    Dictionary<byte[,], int>[] memo = new Dictionary<byte[,], int>[17];

    int rec(byte[,] arr)
    {
        if (arr.Length == 1) return arr[0, 0];
        int opt = find(arr);
        if (opt != -1) return opt;
        opt = 1 << 25;
        for (int i = 0; i < arr.GetLength(1); ++i)
            opt = Math.Min(opt, arr[0, i] + rec(divide(arr, i)));
        add(arr, opt);
        return opt;
    }

这会从当前矩阵的第 0 行中选择一个元素，然后对矩阵进行除法并递归调用自身来求解子矩阵。函数divide 根据所选元素划分当前矩阵。则子矩阵大小为 (N-1)x(N-1)。函数find 在memo[n] 中执行线性搜索，add 将解添加到memo[n] 但这太慢了，因为它会将每个矩阵与其他矩阵进行比较。

你有一些改进吗？有更快的 DP 算法吗？任何帮助表示赞赏

示例

1     2     3    4

8     7     6    5

9     11    10   12

13    14    16   15

最优解：1 + 5 + 10 + 14

步骤：

7   6  5

11 10 12

14 16 15

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11 10

14 16

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14

Answer 1

这实际上是assignment problem。可以使用Hungarian algorithm,等方法在多项式时间内求解。