排序排列的算法

Question

我被这个问题困住了：

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给定 {0,1,2,...,n-1} 的排列 P
（这里 n = P . 长度）

解释为什么以下算法按升序对排列进行排序并给出最坏的情况（伪代码）

PermutationSort(P)
    for i = 0 to P.length - 1
        while(P[i] != i)
            t = P[i]
            exchange P[i] with P[t]

（C++代码）

void PermutationSort(int P[], int len)
{
    for(int i = 0; i < len; i++)
        while(P[i] != i)
        {
            int tmp;
            tmp = P[i];
            P[i] = P[tmp];
            P[tmp] = tmp;
        }
}

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我完全不知道为什么它对排列 P 进行排序。

我整天都在研究这个问题，但我仍然不明白为什么它会对排列进行排序。

“用 P[P[i]] 交换 P[i]”是做什么的，为什么我们最终会得到 P[i] = i 从而终止内部循环？

感谢任何提示或帮助。

Answer 1

首先，请注意，如果您从任意元素k开始，并重复应用排列P以获得类似（k → P(k) → P(P(k)) → P(P(P(k))) → ...)，你会（因为总P 排列中的元素数量是有限的，并且排列永远不会将两个输入映射到相同的输出）最终回到 k。 cycle 的元素 (k →P(k) → P(P(k )) → ... → k) 被称为 P 下 k 的orbit，并且排列恰好属于这样一个循环。

现在，让我们看看你的算法的内部循环对包含元素 i 的循环做了什么。

如果 P(i ) = ​​i，即如果这个元素已经在它所属的位置，那么内部循环什么也不做，并且外循环移动到下一个元素。但是，如果 P(i ) ≠ i，则内部循环设置 t = P em>(i )，然后将置换P修改为交换P(i )和 P(t ).

交换后，P(t )的新值是P(i)的旧值> )，即t。因此，元素 t 现在已正确排序，而 P(i ) 现在包含 P 的旧值(t ) = ​​P(P(i ))，即循环中的（前）下一个元素.如果这是i，那么循环中没有元素了，内循环结束；否则，包含 i 的循环将缩小一个元素，并且内部循环重复。

因此，在内循环结束时，曾经与 i 属于同一循环的所有元素（包括 i 本身）都已移动到它们的正确位置，因此从循环中删除，而其余的排列没有改变。

由于外部循环遍历排列中的每个元素，因此也保证至少访问每个循环一次。当然，我们正在修改内部循环中的排列，但这没关系，因为内部循环永远不会创建新的循环（超过一个元素）；它只能分解现有的。

因此，原始排列中的每个循环第一次被外循环访问时，内循环排序并分解该循环；在随后访问相同的原始循环时，该循环已经被排序，因此内部循环根本不做任何事情。

这个观察还应该允许您限制内部循环可以执行的次数，从而确定算法的时间复杂度。