哪种算法可以求解变量为位且运算为异或的方程组？答案

【问题标题】：Which algorithm to solve a system of equations where variables are bits and operation is xor?哪种算法可以求解变量为位且运算为异或的方程组？
【发布时间】：2019-04-23 23:11:08
【问题描述】：

我正在尝试求解方程组。每个方程的形式为：

V1 xor V2 xor ... xor Vx = Sx

Vx 和 Sx 是单个位变量。 Sx 是已知的，我需要找到所有 Vx 的值

例如：

V1 xor V2 xor V3 = 1
V1 xor V2 = 0
V2 xor V3 = 1

（解 V1 = 0，V2 = 0，V3 = 1）

实际上，我有数千个变量（每个都是一个位）和数千个方程（只有异或运算）。我知道至少有一种解决方案，而我只需要一种解决方案。

我知道如何为小型系统手动解决这个问题，但我不知道如何构建一个算法来解决这个问题。

你能帮我解决这个问题吗？我是一名开发人员，我了解如何使用位、异或运算符和数据结构，但我在数学方面的经验较少，我不知道使用哪种方程系统求解方法。我对矩阵运算也不是很直观，所以如果我需要它，请尝试非常缓慢地解释它！ :p

谢谢！

【问题讨论】：

您能否进一步详细说明您要解决的问题？您的示例是否意味着您正在尝试确定设置了哪个位（示例中为 V3）通常，您在另一个方向求解方程组，您知道 3 个由 3 个 Vx 变量组成的方程，并且您正在寻找 Sx 解。给定 Sx 解决方案 - 您是否想要“发现”具有数千行和数千列的矩阵的方程组？
Thx，我正在尝试反转一种算法，更准确地说是一种不安全的随机生成器。使用 PRG 的输出，我想找到内部状态（输入）。这就是我得到一个 xor 方程系统的方法，我知道它的结果并且我想知道输入。这也是为什么我知道至少有一个有效的解决方案。所以现在我有了方程组，但我不知道如何解决它，因为我在矩阵计算方面很蹩脚：p
你可以把它扔给约束求解器：developers.google.com/optimization/cp/cp_solver

标签： algorithm equation-solving bitwise-xor

【解决方案1】：

您可以为此使用高斯消元法：https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination

XOR 是取模 2 的整数的加法（和减法 - 它是一样的），所以很简单：

例如，找到一个包含v1 的方程式，并将其添加到所有其他包含v1 的方程式中以从中删除v1：

v1 XOR v2        = 1
      +
v1        XOR v3 = 0
--------------------
       v2 XOR v3 = 1

使用不同的方程从所有其他方程中删除 v2，使用不同的方程删除 v3 等，直到所有方程只有一个变量。

【讨论】：

谢谢。你能多描述一下如何使用高斯消元法来解决我的问题吗？或指向适用于我的情况的代码？我不是偷懒，只是我不明白矩阵计算！
当然。希望有帮助

【解决方案2】：

我差点把这个放在另一个评论中，但它似乎是一个答案，所以就在这里。

恐怕你可能是 SOL。例如，给定一个 111 的 Sx，一个领先的矩阵是

L1 = 100   | Sx(L1) = 1
L2 = 010   | Sx(l2) = 1
L3 = 001   | Sx(L3) = 1

并且还有 2 个等价矩阵适合该解决方案（L3 可以很容易地为 010 或 100）。

此外，假设 Sx 为 001 - 您将不知道 L3 中的哪个 Vx 是“活动”位，即使您知道 L1 和 L2 在每个变量上的系数都为 0。

【讨论】：

【解决方案3】：

好的，要做到这一点，您需要了解一些关于 xor 和 not 和 0 = false 和 1 = true 的代数规则。

首先，xor 同时满足结合律和交换律。如果我们把xor 长长的链条连在一起，我们可以随心所欲地重新排列。

接下来，x xor x = 0。当我们添加0 xor y = y这一事实时，我们可以删除匹配的变量对。

接下来，替换。 x1 xor x2 xor ... xor xn = 0 形式的等式意味着 x1 = x2 xor x3 xor ... xor xn。同样x1 xor x2 xor ... xor xn = 1 暗示x1 = 1 xor x2 xor x3 xor ... xor xn。这些事实可以用您的其他方程式代替。这可能会导致重复的变量，然后我们可以删除。

这意味着每个方程都可以用其他方程来写一个变量，然后可以将其代入其他方程。这现在是一个因变量。最后，我们将拥有三种状态之一。

1 = 0 表示没有解决方案。
没有方程和变量。有一种解决方案。只需向后替换即可。
有几个变量从未被消除，但你已经脱离了方程。这些变量免费。您可以将它们设置为任何值并获得答案。您不妨将它们设置为1。

让我用你的方程式来说明一下。

(1) 1 = V1 xor V2 xor V3
(2) 0 = V1 xor V2
(3) 1 = V2 xor V3

从(1)我们知道：

(4) V1 = 1 xor V2 xor V3

（注意，V1 已消除。）将(4) 代入(2) 和（3）得到：

(5) 0 = V1 xor V2
      = (1 xor V2 xor V3) xor V2
      = 1 xor V3

(6) 1 = V2 xor V3

（请注意，(6) 是一个微不足道的替换。）

从(5) 我们得到：

(7) 1 = V3

（注意，V3 已被消除。）将(7) 替换为(6)，我们得到：

(8) 1 = V2 xor V3
      = V2 xor 1

从(8) 我们得到：

(9) V2 = 1 xor 1 = 0

（注意，V2 已被淘汰。）

规则(9)、(7) 和(4) 消除了V2、V3 和V1，所以只有一种解决方案。它是：

(9) V2 = 0
(7) V3 = 1
(4) V1 = 1 xor V2 xor V3 = 1 xor 0 xor 1 = 0

请注意，这是一个完全机械的过程。在每一步，我都使用我留下的第一个方程，用它来写一个变量，然后将它代入其他变量。少一个方程，少一个变量。它总是有效的。

您必须为此制定一个良好的表示和代码。但是，了解您正在尝试做的事情有望有所帮助。

【讨论】：

【解决方案4】：

您可以使用MiniSAT 算法。例如，在 Java 中，它可以在 LogicNG 项目中使用。

您的示例可以像这样发布在the SatisfiabilityInstances() function 的Symja project 中。在后台调用了 LogicNG MiniSat.miniSat()。

SatisfiabilityInstances(Xor(v1,v2,v3)&&Not(Xor(v1,v2))&&Xor(v2,v3),{v1,v2,v3})

结果：

{{False,False,True}}

【讨论】：