哪种算法可以用来解决分区概率的这种变化？答案

【问题标题】：Which algorithm can be used to solve this variation of the partition-prob?哪种算法可以用来解决分区概率的这种变化？
【发布时间】：2012-10-19 00:37:49
【问题描述】：

这就是问题所在：

您有两个长度相等的数组 A 和 B。您必须将它们分成两组 P 和 Q，这样： (1) 他们的差异被最小化。 (2) 如果 A[i] 进入 P 或 Q 中的一个，B[i] 应该进入另一个。

这是我的逻辑（解决实际问题）：

如果输入是：a b c d e f g，值列表和索引 a,b,c,d,e,f 分别为 0,1,2,3,4,5

如果 t 是 a,b,c,d,e,f,g 的索引，程序会检查 t 和 i 这样即：[t] 处的值 > [t-i] 处的值，从 t = 5 开始，并且 i = 1，并将 i 的值增加 1 并减小 t 的值 1.

一旦找到匹配项，它就会交换两个索引的值并对从 [t-1] 开始的值进行排序。结果值列表是输出。

我不知道这个算法有什么问题，但它对所有测试用例产生了错误的答案。我知道它可以使用动态编程来解决，并且它是分区问题的一种变体。但是我不知道如何改变分区算法来解决这个问题。

【问题讨论】：

您的问题陈述与链接中的问题陈述在两个方面不同（可能很重要，也可能不重要）。在原始问题中，数组元素是 (1) 正数和 (2) 以已知常数（单词问题中的 300）为界。您已经删除了这两个约束。但是，我不知道这是否会改变问题的固有复杂性。

【解决方案1】：

将问题简化为分区问题：
为每个i 创建第三个数组D[i] = B[i] - A[i]。

现在问题是数组D上的一个经典partition problem，你可以使用它的DP解得到一个伪多项式时间解。

正确性证明：
如果D (sum(D_1) = sum(D_2)) 上有解决方案 - 那么i_1,...,i_k 被选为D_1 和j_1,...,j_m 被选为D_2（并且每个索引都在 i 或 j 中），例如那：

sum(D[i's]) = sum(D[j's])

从结构上来说，意思是：

sum(B[i]-A[i]) = sum(B[j]-A[j]) (for each relevant i's,j's)

因此：

sum(B[i's]) - sum(A[i's]) = sum (B[j's]) - sum(A[j's])

从这里：

sum(B[i's]) + sum(A[j's]) = sum(B[j's]) + sum(A[i's])

这正是我们想要的，因为每个“索引”都分配给两个部分，一个部分得到 B，另一个得到 A。
另一个方向类似。

QED

问题的复杂性：
问题仍然是简单归约的 NP-Hard：

给定一个分区问题的实例 (S=[a_1,a_2,...,a_n])，创建这个问题的实例：

A=S, B=[0,...,0]

很容易看出，对这个问题给出最优解的同一解将是原始分区问题所需的分区，因此该问题是 NP-Hard。

【讨论】：