有多少种方法可以用 2x1 多米诺骨牌平铺一个 3xn 矩形？答案

【问题标题】：In how many ways can you tile a 3xn rectangle with 2x1 dominoes?有多少种方法可以用 2x1 多米诺骨牌平铺一个 3xn 矩形？
【发布时间】：2011-01-26 11:03:49
【问题描述】：

每天我都在与算法问题作斗争，并尝试在这里提出我无法回答的问题。对不起，如果我引起任何头痛。总之，

这是滑铁卢大学 ACM 编程竞赛的problem。

您可以用多少种方式将 3xn 矩形与 2x1 多米诺骨牌平铺？

涅槃：闻起来像递归精神

【问题讨论】：

标签： algorithm math dynamic-programming

【解决方案1】：

只是对 taskinoor 答案中隐含给出的方程的显式解决方案：

或者

f[n]=((1 + (-1)^n)*((2 - Sqrt[3])^(n/2)*(-1 + Sqrt[3]) + 
     (1 + Sqrt[3])* (2 + Sqrt[3])^(n/2)))/(4*Sqrt[3])

如果有人在乎的话。

让我们显示 10 个值（奇数 n 没有解）{n,f[n]}：

{6, 41.},   
{12, 2131.},   
{18, 110771.},   
{24, 5.75796*10^6},   
{30, 2.99303*10^8},   
{36, 1.5558*10^10}, 
{42, 8.08717*10^11},  
{48, 4.20377*10^13}, 
{54, 2.18515*10^15}, 
{60, 1.13586*10^17}

【讨论】：

+1。真的很困惑接受正确的答案:)。谢谢你们俩
@taskinoor 它与斐波那契显式形式有一个奇怪的相似之处upload.wikimedia.org/math/a/f/9/…
@hilal 答案由 taskinoor 提供。我刚刚详细说明了这一点。
注意$(2+\sqrt3)^{1/2}=(1+\sqrt3)/\sqrt2$，所以可以简化
事实上，即使是$n$，也是最接近$$\dfrac{(1+\sqrt3)^{n+1}}{2^{n/2+1}的整数\cdot\sqrt3}$$

【解决方案2】：

您可以使用动态规划来解决这个问题。检查this 以获取可能的解决方案。

【讨论】：

@hitesh_noty 链接失效了。我很久以前写了这个答案，当时我不明白这个问题，只有链接的答案。我在这里找到了另一种解释：cs.stackexchange.com/questions/42170/… 但老实说，我需要编辑此答案以在此处添加解释，以便它不依赖于另一个链接。

【解决方案3】：

只是关于如何获得显式解决方案公式的说明，诀窍是将其写下来作为矩阵乘法的递归，然后使用矩阵的nth 次方的特征值公式。对于上面的递归，等式是

（不可用）

你可以看到四个特征值出现在贝利撒留的显式公式中

【讨论】：

+1：如果您只是在寻找一种算法，只需在 O(logn) 时间内计算矩阵的幂，这具有仅使用整数算术的优势。
图片丢失。