使用动态规划的最小旅行路径成本答案

【问题标题】：Minimum cost of travel path using dynamic programming使用动态规划的最小旅行路径成本
【发布时间】：2019-10-16 04:24:54
【问题描述】：

假设我们要从 A 到 B，在旅行过程中，有一些站点 d_1,...,d_n 其中 d_1=A, d_n=B，我们可以选择在每个站点添加燃料成本 C_i，假设如果我们在 d_i 站加气，那么我们可以行驶 a_i 多公里。我想找到一种动态规划算法来找到前往 B 的最低成本（假设存在这样的序列）。

我尝试使用 D[i] 作为从 A 到车站 i 的最低旅行成本，但我无法弄清楚递归关系。我想我可能需要跟踪我们目前可以旅行多长时间。但这太复杂了……

【问题讨论】：

标签： algorithm dynamic-programming

【解决方案1】：

正如您所说，您可能需要跟踪我们目前可以旅行多长时间。您应该使用 D[i][j] 作为从 A 到站 i 并留下 j 公里燃料的最低成本。在这种情况下，递归关系如下。

D[i][j] = min( min{ D[i-k][j+(d_i - d_{i-k})] | k<i }, D[i][j-a_i] + C_i );

第一个词min{ D[i-k][j+(d_i - d_{i-k})] | k<i }表示从i-k站移动到i站，(d-i - d_{i-k})公里油耗。 k 可以取 0 到 i-1 之间的值。

第二个术语D[i][j-a_i] + C_i 表示在d_i 站添加a_i 公里汽油，C_i 成本消耗。此外，如果您允许在同一站点多次添加气体，则必须小心。

最后，min{ D[n][*] | '*' is any positive value } 成为答案。

【讨论】：

【解决方案2】：

我们可以根据数据考虑可以修剪搜索空间的潜在优化。选择d_1 的可能性会产生一个(cost, distance) 元组。在d_i，我们通过将cost_i 和distance_i 与之前的元组组合来生成新的元组，保留所有(cost, distance) 元组，其中距离大于d_(i+1)，并且没有元组同时具有更高的成本和更低的距离其他。换句话说，我们不想将加油站i 与之前的元组 where 一起使用

prev1.cost + c_i ≥ prev2.cost
prev1.dist + d_i ≤ prev2.dist

for some (prev1, prev2)

我们可以在几何上将这种关系视为点对之间的零斜率或负斜率。

distance
 |                b
 |              f
 |       c   
 |            e
 |     a   d
 |
  -----------------cost

c --> e、c --> d 和 a --> d 具有非正斜率意味着 a 和 c 总是更好的选择，因此我们可以丢弃 d 和 e。我们正在寻找沿成本维度严格增加距离的序列，而不是凸包。从最低成本开始（打破平局的距离更高），注意到greater-cost-with-equal-or-lower-distance 从来没有一个有用的点。

在每次迭代中，如果我们保持元组按成本排序，我们可以从第一个等于或大于d_(i+1) 的距离开始从低到高扫描（丢弃左侧的任何点），丢弃任何带有更大或相等的成本，但更低或相等的距离。

【讨论】：