如何找到时间复杂度小于 N 的给定数 N 的所有因子？答案

【问题标题】：how to find all factors of a given number N with time complexity less then N?如何找到时间复杂度小于 N 的给定数 N 的所有因子？
【发布时间】：2014-07-31 14:28:17
【问题描述】：

我正在尝试这个，但是在输入>10000 这个循环 id 需要更多时间。

有什么方法可以优化这个时间复杂度小于 N 或 (logn) 的方法吗？

#include <iostream>

using namespace std;

int main(int argc, char* argv[]) {
    int n = 10001;

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            cout << i;
        }
    }
    return 0;
}

【问题讨论】：

你可以使用Pollard Rho算法。它真的很快而且实施起来也不难。使用主要因素，您可以生成除数。
您需要执行一次还是多次？
如果用户输入 300 那么我必须执行 600 次..两次
也许你可以从这个链接找到它http://stackoverflow.com/questions/3398159/all-factors-of-a-given-number

标签： c++ factors

【解决方案1】：

除了dmh2000's answer：您可以在检查中利用冗余。例如，如果一个数字不能被n 整除，那么它也不能被n 的任何倍数整除。例如，不能被 2 整除的数也不能被 4、6 或 8 整除。

这种技术被称为sieving。

【讨论】：

rahulk 想要所有因子，而不仅仅是所有素因子。
这种技术就是这样做的。
“一个不能被 2 整除的数字也不能被 4、6 或 8 整除”这是真的，但它会产生相同的时间复杂度，因为我需要检查 4 是否是 2 的倍数或不是..在实现上是一样的

【解决方案2】：

您可以只迭代 n 的平方根而不是 n，因为任何大于平方根的都不能是 n 的因数。编辑：阅读 ComicSansMs 的答案比我的编辑好

【讨论】：

rahulk 想要所有因子，而不仅仅是所有素因子。
您只能检查2 和odd numbers 波纹管sqrt(N)。
@TonyK 所以？建议的方法让收集所有因素
利用素因数，可以轻松生成除数。
@ST3：当然可以。但值得一提。我怀疑 dmh2000 只是误读了这个问题（就像我一开始所做的那样）。

【解决方案3】：

第一步是找到所有的主要因素，以及它们的多重性。然后您可以轻松生成因子。

平均而言，如果您明智地做到这一点，那么对于高达约 100000000 的数字，找到主要因素的速度非常快。如果你找到一个因素，你可以把它从n 中分出来，这在一般情况下大大减少了时间。此外，除了 2 之外，您只需要检查直到 sqrt(n) 的奇数因子：

// I assume n is non-zero
while (!(n & 1)) {
    cout << "2" << endl;
    n /= 2;
}
for (unsigned int factor = 3; factor * factor <= n; factor += 2) {
    while (n % factor == 0) {
        cout << factor << endl;
        n /= factor;
    }
if (n != 1)
    cout << n << endl;
}

【讨论】：

【解决方案4】：

如果您需要多次执行此操作，有一个很好的解决方案。我只举一个例子，实施将是你的事。

假设您需要分解两个数字，例如580 和 72。

首先你把它分解成素数

580 = 2 x 2 x 5 x 29
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

使用缓存可以大大提高分解为素数的速度。您应该拥有包含所有已知素数的std::set<int>，因此在分解580 后，它包含2, 5, 29。这意味着分解72 你只需要确定3 是素数。

在获得所有质因数后，您需要将它们以所有组合相乘以获得非质因数。

正如我所提到的，这个解决方案真的很好，只有在你需要分解许多数字的情况下，但如果你只需要分解一次它还不错Sieving会更好。

【讨论】：