给定代码的 O(n) 和时间复杂度函数答案

【问题标题】：O(n) and time complexity function of the given code给定代码的 O(n) 和时间复杂度函数
【发布时间】：2021-12-07 17:13:37
【问题描述】：

如果下面的循环结构在上界分析下，它仍然计算到 O(n^2) 吗？我很困惑，因为内部循环依赖于外部循环，并且每次外部迭代时，内部 for 循环都会少循环一次。除了 O(n) 之外，时间复杂度函数是否会是“n!.n+C”，其中 C 是常数？我假设n！因为内循环。

for(int i=n;i>0;i--)
{
 for(int j=i;j>=1;j--)
  {
     count++;
  }
}

【问题讨论】：

对多个n 运行此代码，例如n = 1,2,...,15 并打印count，您会看到答案。或者将内部循环简化为count += i，您将更接近答案。然后，您可能还希望将外部循环简化为 1 + 2 + ... + n 之类的东西，这是一个算术序列，已知总和为 n*(n+1)/2，这是两个循环被简化到最后的最终公式。跨度>
我很困惑，因为内部循环依赖于外部循环，并且每次外部迭代内部 for 循环循环的时间都会减少一次。 -- 时间会减少一次就复杂性而言绝对不值钱——这仍然是n^2。假装n 是一百万，而不是像 10 或 20 这样的小东西来概念化它。将每次迭代的次数减少一半（例如二进制搜索），那么您就完全不同了。

【解决方案1】：

让我们假设，外循环转到 n，内循环转到内循环的值。（你的循环的反转情况）。您可以使用公式计算的完整计数内循环

总和 k=1..n (k) = n * (n+1) / 2 = 1/2 * n^2 + 1/2 n

所以你的时间复杂度是

O(1/2 * n^2 + 1/2 n) = O(n² + n) = O(n²)

【讨论】：

【解决方案2】：

此代码与问题中的代码具有相同的时间复杂度。

for(int i = 0; i < n; i++){  // outer loop
    for(int j = 0; j < i; j++){  // inner loop
        count++;
    }
}

在外循环的第一次迭代（i = 0）中，内循环不执行。

在外循环的第二次迭代（i = 1）中，内循环执行once。

在外循环的第三次迭代（i = 2）中，内循环执行twice。

所以，在外循环的最后一次迭代中（i = n），内循环执行n times。

因此，这段代码执行的总次数为

1 + 2 + 3 + … + n

= n(n + 1) / 2

= ((n^2) + n) / 2

= O(n^2)

【讨论】：