ILP图循环检测

Question

我完全被这个（整数）线性规划公式任务困住了：
输入：包含循环的有向边加权图。
目标：找到一组边，它们的权重之和最小，这样如果从图中删除这些边，图就会变成非循环的。

编辑：对于任何感兴趣的人，我发现（在朋友的帮助下），您可以使用拓扑排序来解决这个问题。您只需要为每条边引入一个约束，这样：
topologicalOrder[ edge.parent ] << topologicalOrder[ edge.child ] + ( M * edgeInactive[edge])
其中topologicalOrder[node] 是节点拓扑位置的整数数组，edgeInactive 是布尔数组，表示边在结果（非循环）图中是否处于活动状态。 M 是用于在 edgeActive[edge] == true 时“关闭”约束的 Big M 方法。
那么你只需要最小化非活动边的权重总和。

旧（较慢）解决方案：
我的想法是创建节点的拓扑排序（对于非循环图，当拓扑排序时，所有边都将从左到右定向），但是当我得到带有循环的图时，我将寻找这样的拓扑排序，即总和从右到左的边数最少。

这种方法有效，但速度很慢......

（我正在尝试用 Gurobi 解决这个问题，但我认为这是非常普遍的线性规划公式问题。） 我的代码：

# Variables
x = model.addVars(nodeCount, nodeCount, vtype=g.GRB.BINARY) # matrix of size nodeCount * nodeCount, where x[i,j] denotes if node i is topologically before node j

#Constraints
for e in edges:
    model.addConstr(x[e.child, e.parent] == 1 - x[e.parent, e.child])  # x[i,j] needs to be equal to negative value of x[j,i]

    for k in range(nodeCount):
        model.addConstr(  x[e.parent, e.child] + x[e.child, k] - x[e.parent, k] <= 1) # Without this constraint solver produced invalid ordering results so I came up with this equation. But I'm not sure if this is the best way to solve this issue..


# Objective
sumNegativeEdges = 0;
for e in edges:
    sumNegativeEdges+= (x[e.child, e.parent]) * e.weight; # Adding just weight of edges where child is topologically before the parent

model.setObjective(sumNegativeEdges, g.GRB.MINIMIZE) 

不胜感激...

Answer 1

这看起来像一个（通常）NP 难题：minimum feedback arc set。至少this answer 表明了这一点。

您可能会使用此关键字找到更多资源。

当我在Kemeny–Young method

上做一些 ILP 工作时，我记得阅读过关于 above 问题的 ILP 公式

在 Google Scholar 上快速查找将我们带到：

Ali、Alnur 和 Marina Meil​​ă。 “凯梅尼排名实验：什么时候有效？”数学社会科学 64.1 (2012): 28-40。

上面写着：

"上面的ILP公式在[10, 28]之前已经给出。这个公式也可以理解为求解最小加权反馈弧 设置问题来自计算机科学 [10, 19]"

我猜你可能会从这篇论文开始 (Link to pdf as referenced by Google Scholar)

Answer 2

我发现（在朋友的帮助下），您可以使用拓扑排序来解决这个问题。您只需要为每条边引入一个约束，这样：
topologicalOrder[ edge.parent ] << topologicalOrder[ edge.child ] + ( M * edgeInactive[edge])
其中topologicalOrder[node] 是节点拓扑位置的整数数组，edgeInactive 是布尔数组，表示边在结果（非循环）图中是否处于活动状态。 M 是用于在 edgeActive[edge] == true 时“关闭”约束的 Big M 方法。
那么你只需要最小化非活动边的权重总和。