?当允许负整数和/或零步时，结果是否可以在（爬楼梯/蛙跳）中找到？

Question

序言：

当询问楼梯问题时，通常给定的允许步数数组是 [1,2,3]

在 SO 上查看许多相同问题的示例，例如 n-steps-with-1-2-or-3-steps-taken-how-many-ways-to-get-to-the-top

我的问题与此有关，但要为允许的步数包括负数和零的情况寻找证据。

有些东西是显而易见的，例如

• 如果所有的步长都是正数，那么可能的方法数 是有限且可解的。
• 如果任何步长为零，则数字 可能的方式变得无限。
• 如果至少有一个负步长 允许并且步长的任何组合总和为零，然后 可能的方式变得无限。

示例：

countSteps(stairSize:=5, [  1,2,3]) // 17
countSteps(stairSize:=5, [0,1,2,3]) // 17...

countSteps(stairSize:=5, [-2,-1  ]) // zero ways
countSteps(stairSize:=5, [-2,-1,0]) // infinitely zero ways

countSteps(stairSize:=5, [2,4]) // zero ways

countSteps(stairSize:=5, [   3]) // zero ways
countSteps(stairSize:=5, [-1,3]) // infinite ways

countSteps(stairSize:=5, [6,7,8]) // zero ways

问题：

? Can you determine whether given
    a stair size (1.. for now)
    and an array of allowable steps
    is the result find-able ?

Answer 1

您可以分两部分进行：

• 首先，创建一个大小为 stairSize 的布尔数组，表示是否可以从底部台阶到达给定台阶。将所有值初始化为“false”（包括底部步骤），然后使用搜索算法（例如 BFS 或 DFS）查找所有可到达的步骤并将它们设置为“true”。
  • 如果最上面的台阶永远不会变成“真”，那么就没有办法从底部到达最上面的台阶；返回 0。
  • 否则，如果底部步骤结束为“真”，则存在循环；返回∞。 （由于问题中的对称性，如果存在循环，底部步骤将始终以“真”结束。）
• 接下来，创建一个大小为 stairSize 的整数数组，表示到达给定步骤的路径数。将底部步骤初始化为 1，将所有其他值初始化为 0，然后使用递归填充此数组。 （例如，这样的事情：

  private int getNumWaysToReachStep(
          final int targetStep,
          final boolean[] isStepReachable,
          final int[] numWaysToReachStep,
          final int[] numStepsAtATimeArr) {
      if (targetStep == 0) {
          return 1;
      } else if (targetStep < 0 || targetStep >= isStepReachable.length) {
          return 0;
      } else if (numWaysToReachStep[targetStep] != 0 || ! isStepReachable[targetStep]) {
          return numWaysToReachStep[targetStep];
      }
      int result = 0;
      for (final int numSteps : numStepsAtATimeArr) {
          result += getNumWaysToReachStep(targetStep - numSteps, isStepReachable,
                        numWaysToReachStep, numStepsAtATimeArr);
      }
      numWaysToReachStep[targetStep] = result;
      return result;
  }
  

  )

总的来说，这需要 O(stairSize ·|numStepsAtATimeArr|) 时间和 O( stairSize) 额外的空间。