动态规划矩阵练习

Question

我正在练习动态编程，我正在尝试解决这个练习http://www.geeksforgeeks.org/collect-maximum-points-in-a-grid-using-two-traversals/ 但我不明白如何使用动态编程。

我的推理是使用表格T[n][m] 来存储结果并在每个单元格中找到要走的最大值（对应于一个单元格）。

使用链接中显示的示例：我如何知道在第一个单元格[0][0] 转到 "3" 而不是 "5"？根据我的推理，选择是转到 "5"，但这是一个不好的方法

Answer 1

您的表格应该不按照您的建议用于向前看。这听起来更像是一种贪婪的方法，实际上是不正确的。而是使用您从先前迭代中计算出的内容在当前迭代中进行计算。

简化我将算法描述为：

• 初始化一个表T[C][C]并将所有值初始设置为0。其中C是列数。
• T[c1][c2] 在前一行保持最佳分数，其中旅客 1 将在列 c1 中，而旅客 2 将在列 c2 中
• 然后您可以遍历行：
  • 检查行r的旅行者是否可以在各自的位置c1，c2
  • 填写一个新表tmp，其中tmp[c1][c2] 是arr[R][c1] + arr[R][c2] + Max(T[c1-1][c2-1]，T[c1][c2-1], ..., T[c1+1][c2+1])。
  • 将T 替换为tmp
• 结果：T[0]+T[C-1]

备注： 我没有在意这种情况，因为两个旅行者都在同一个地方，而且他们都没有得到积分。我假设这是在检查中处理的，因为我们应该能够证明在所有行的最佳解决方案 c1 < c2 中。 （C = 1 除外）

为什么这是正确的：

在R 行，从上一行开始只有 9 (3x3) 种可能的组合。对于每一个可能的位置，我们总是采取最好的。这意味着我们实际上正在为两位旅行者尝试所有可能的组合，我们不能错过任何更好的解决方案。

总结这个算法不是给你最好的解决方案，只有最好的分数。您可能会对此感到困惑，因为您直觉地正在寻找路径。

额外

这个算法也能得到路径吗？

是的，但您需要做一些额外的工作。 假设我们保留所有行的所有计算 T 数组。 然后我们可以检查以下内容：

• T[R][c1][c2] == arr[R][c1] + arr[R][c2] + T[R-1][c-1][c-2]
• 如果在前一行中两个旅行者都向右走，这将检查是否有可能找到最佳路径。这样我们就可以走回起始位置。