简单的动态规划练习

Question

让我们有一个（给定尺寸的）小方块的字段，每个方块都有一个值。从每个方格，一个人只能移动到正下方的方格，或者对角线向左或向右的那个方格。任务是找到穿越该领域的最大组合价值。

例如对于输入

1
6 5
3 1 7 4 2
2 1 3 1 1
1 2 2 1 8
2 2 1 5 3
2 1 4 4 4
5 2 7 5 1

输出应该是 32，但我的代码输出 20。

我的方法是通过以下方式详尽地尝试通过该领域的所有可能路线：

        y == last_row   return value[x,y]
f(x,y)  
        y != last_row   return value[x,y] + max(f(x-1,y+1),f(x,y+1),f(x+1,y+1))

我的方法、我的代码或两者都有错误吗？

代码在这里：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>

using namespace std;

typedef int T;

T max(T x, T y, T z) {
    if(x < y) {
        if(y < z) return z;
        else return y;
    }
    else {
        if(y > z) return x;
        else {
            if(x > z) return x;
            else return z;
        }
    }
}

//Finds the maximum amount of stones possibly gathered by following coordinates x,y
//The topmost left is (0,0), bottom right is (columns-1,rows-1)
T max_stones_found_following(T x, T y, vector< vector<T> > A) {
    //Reached the last row?
    if(y == A.size()-1) return A[x][y];
    else {
        T went_left, went_right, went_down;
        if(x-1 >= 0) went_left = max_stones_found_following(x-1, y+1, A);
        else went_left = numeric_limits<T>::min();
        if(x+1 <= A[x].size()-1) went_right = max_stones_found_following(x+1, y+1, A);
        else went_right = numeric_limits<T>::min();
        went_down = max_stones_found_following(x, y+1, A);
        return A[x][y] + max(went_left, went_right, went_down);
    }
}

int main() {
    //Initialization
    T test_cases, rows, columns, stones_found, max_stones;
    vector< vector<T> > A;
    cin >> test_cases;
    while(test_cases--) {
        //Field input
        cin >> rows >> columns;
        for(int i = 0; i < rows; i++) {
            vector<T> row;
            for(int j = 0; j < columns; j++) {
                T in;
                cin >> in;
                row.push_back(in);
            }
            A.push_back(row);
        }

        max_stones = 0;
        stones_found = 0;
        //Try starting at different positions in the first row
        for(int i = 0; i < columns; i++) {
            stones_found = max_stones_found_following(i, 0, A);
            if(stones_found > max_stones) max_stones = stones_found;
        }

        //Output
        cout << max_stones << endl;
    }
    return 0;
}

Answer 1

你的一些问题：

• 方法max 比需要的更复杂。您正在进行多次比较以找到最大值。见下文。
• 您的主要问题是使用i 和j 倒置，根据调用站点i 表示column 在row 0 和方法max_stones_found_following 中的开始位置值矩阵的行。

固定代码（顺便说一下，对于大输入数据来说，这是一个非常慢的解决方案，而不是动态编程）：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <limits>

using namespace std;

typedef int T;

T max(T x, T y, T z) {
    return std::max(x, std::max(y, z));
}

// Finds the maximum amount of stones possibly gathered by following coordinates
// x,y
// The topmost left is (0,0), bottom right is (columns-1,rows-1)
T max_stones_found_following(T x, T y, vector<vector<T>> A) {
    // Reached the last row?
    if (y == A.size() - 1)
        return A[y][x];
    else {
        T went_left, went_right, went_down;
        if (x - 1 >= 0)
            went_left = max_stones_found_following(x - 1, y + 1, A);
        else
            went_left = numeric_limits<T>::min();
        if (x + 1 <= A[y].size() - 1)
            went_right = max_stones_found_following(x + 1, y + 1, A);
        else
            went_right = numeric_limits<T>::min();
        went_down = max_stones_found_following(x, y + 1, A);
        return A[y][x] + max(went_left, went_right, went_down);
    }
}

int main() {
    // Initialization
    T test_cases, rows, columns, stones_found, max_stones;
    vector<vector<T>> A;
    cin >> test_cases;
    while (test_cases--) {
        // Field input
        cin >> rows >> columns;
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            vector<T> row;
            for (int j = 0; j < columns; j++) {
                T in;
                cin >> in;
                row.push_back(in);
            }
            A.push_back(row);
        }

        max_stones = 0;
        stones_found = 0;
        // Try starting at different positions in the first row
        for (int i = 0; i < columns; i++) {
            stones_found = max_stones_found_following(i, 0, A);
            if (stones_found > max_stones)
                max_stones = stones_found;
        }

        // Output
        cout << max_stones << endl;
    }
    return 0;
}

参见dynamic programming 的定义。适用于解决以下问题：

• 可以分解成子问题。
• 而且这个子问题有些重叠。

例如：这个问题可以分为子问题，从row 0 -> row i 的最佳路径是什么。考虑到这一点，到row i 的最佳路径问题仅取决于到row i-1 的最佳路径和ith 行的矩阵值。使用它，您可以将解决方案扩展到row i，直到到达最后一行。

在最后一行将是最好的路径，直到该行的每一列，搜索这个的最大值。

源代码（动态编程）：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>

typedef std::vector<int> row_t;
typedef std::vector<row_t> matrix_t;

int main() {
    // Initialization
    int test_cases, rows, columns;
    matrix_t A;
    std::cin >> test_cases;
    while (test_cases--) {
        std::cin >> rows >> columns;
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            row_t row(columns);
            int in;
            for (int j = 0; j < columns; j++) {
                std::cin >> in;
                row[j] = in;
            }
            A.push_back(row);
        }

        // Dynamic Programming Here

        // For storage the best path until each cell
        matrix_t best_A (rows, row_t(columns, 0));
        std::copy(A[0].cbegin(), A[0].cend(), best_A[0].begin());

        for (int i = 1; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < columns; j++) {
                // right down
                if (j > 0 && best_A[i - 1][j - 1] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
                    best_A[i][j] = best_A[i - 1][j - 1] + A[i][j];
                }
                // left down
                if (j < columns - 1 && best_A[i - 1][j + 1] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
                    best_A[i][j] = best_A[i - 1][j + 1] + A[i][j];
                }
                // down
                if (best_A[i - 1][j] + A[i][j] > best_A[i][j]) {
                    best_A[i][j] = best_A[i - 1][j] + A[i][j];
                }
            }
        }

        // End Dynamic Programming

        auto it = std::max_element(best_A[best_A.size() - 1].cbegin(), best_A[best_A.size() - 1].cend());
        // Output
        std::cout << *it << std::endl;
    }
    return 0;
}

如前所述，您可以计算到 row i 的最佳路径，只读取第一行 i 行，您可以即时进行（读取时，读取第一行，计算最佳起始位置，读取第二行，计算直到第二行的每一列的最佳路径，依此类推），如果输入非常非常大，这非常好。你也不需要保存最佳路径直到rows 1..i，你只需要计算last row和计算actual row的最佳路径。

Answer 2

动态编程是解决这个问题的好方法。但是就像匿名评论一样，您没有使用它，或者至少没有以明确的方式使用它。

如果您有C 列，那么您有C 可能的起始位置和C 第二个位置，但有3*C - 2 对（第一，第二）。利用动态规划的方法是注意马尔可夫性质，对于第二行中的每个单元格，在以该单元格结尾的所有路径中，只保留得分最高的那个。

然后，对于每一行，您再次评估 3*C - 2 路径，只保留其中的 C。

重复直到到达底部。

在实现方面，您应该有一个指向当前行的C“最佳”路径向量，并构建指向下一行的C 最佳路径向量。然后下一行成为当前行（使用vector::swap）。每个“路径”必须至少存储累积值，但存储访问过的位置的历史记录也可能很好。

事实上，您甚至不需要将整个网格存储在内存中。您可以在阅读时对每一行执行所有处理。

注意：这里使用动态编程会使复杂度 R*C 而不是 C * 3^R

想出一个真正的解决方案实际上很有趣。警告：前方指路！

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>

void solve_one_case();

int main(int argc, char** argv)
{
    /* driver */
    const std::string input = "6 5\n"
                              "3 1 7 4 2\n"
                              "2 1 3 1 1\n"
                              "1 2 2 1 8\n"
                              "2 2 1 5 3\n"
                              "2 1 4 4 4\n"
                              "5 2 7 5 1";
    std::stringbuf inputstream(input, std::ios_base::in);
    auto const oldbuf = std::cin.rdbuf();
    std::cin.rdbuf(&inputstream);
    solve_one_case();
    std::cin.rdbuf(oldbuf);
    return 0;
}

void solve_one_case()
{
    /* get board size from input */
    int rows = 1, columns = 1;
    std::cin >> rows >> columns;
    std::vector<char> route(rows * columns, '|');

    /* get first row from input */
    std::vector<int> current_row, prev_row;
    current_row.resize(columns);
    for( int& start_score : current_row )
        std::cin >> start_score;

    /* get all cells from input, solving */
    char* pRoute = &route[columns];
    for( int row = 1; row < rows; ++row ) {
        prev_row = current_row;

        int cell = 0;;
        for( int column = 0; column < columns; ++column )
        {
            std::cin >> cell;
            if (column > 0 && prev_row[column-1] > current_row[column]) {
                current_row[column] = prev_row[column-1];
                *pRoute = '\\';
            }
            if (column + 1 < columns && prev_row[column+1] > current_row[column]) {
                current_row[column] = prev_row[column+1];
                *pRoute = '/';
            }
            current_row[column] += cell;
            ++pRoute;
        }
    }

    /* find best value in final row */
    int best_score = current_row[0], best_end = 0;
    for( int i = 1; i < columns; ++i ) {
        if (best_score < current_row[i]) {
            best_score = current_row[i];
            best_end = i;
        }
    }

    std::cout << "Best score is " << best_score << "\n";

    /* backtrack along route */
    int route_column = best_end;
    for( int row = 0; row < rows; ++row ) {
        char breadcrumb = '*';
        pRoute -= columns;
        std::swap(pRoute[route_column], breadcrumb);
        switch (breadcrumb) {
        case '/':  ++route_column; break;
        case '\\': --route_column; break;
        }
    }

    /* print routes */
    pRoute = &route[0];
    for( int row = 0; row < rows; ++row ) {
        std::cout.write(pRoute, columns);
        pRoute += columns;
        std::cout << '\n';
    }

    std::cout << std::flush;
}

输出：

Best score is 32
||*||
|/|*\
//|\*
/||*|
||*|\
|/*||