Python 中的动态编程 - 资源分配

Question

问题描述：

假设农场上有n 圣诞树。您希望最大限度地提高所有树木都准备好迎接圣诞节的机会。为了让树木长得更快，你可以用m袋肥喂它们。

你已经根据你施肥的袋子数计算了每棵树按时准备好的概率。您有一个列表p[i][j] 表示如果施用了j 袋肥料，植物i 将准备好的概率。你不能把袋子分开，一旦一袋肥料施到一棵树上，你就不能将它用于不同的树。

施肥越多，树木并不总是生长得越快，因此随着施肥数量的增加，概率可能会减少或增加。

找出所有树木在圣诞节前完全长成的最大概率。

问题：
如何使用动态规划制表解决它？请编写一个带有 3 个参数的函数best_allocation(number_of_trees, number_of_bags, probability_list)。理想情况下，此函数通过优化分配肥料袋给植物，返回所有圣诞树为圣诞节做好准备的最高概率。

测试用例：

probs=  [[0.5, 0.5, 1],[0.25,0.1,0.75]]
best_allocation(2,2,probs)
#In this case, the best choice is to allocate 0 bags to tree0, and allocate 2 bags to tree1, 
#which gives us an overall probability of 0.75*0.5 = 0.375

probs = [[0.5, 0.75, 0.25],[0.75,0.25,0.8]]
best_allocation(2,2,probs)
#In this case, the best choice is to allocate 1 bags to plant0, and allocate 0 bags to plant1. 
#The overall probability is 0.75*0.75=0.5625

Answer 1

您是否正在寻找类似的递归函数：

def best_allocation(number_of_trees, number_of_bags, probability_list):
    if number_of_trees == 1:
        return max(probability_list[0][:number_of_bags + 1])
    return max(
        best_allocation(
            number_of_trees - 1,
            number_of_bags - bags,
            probability_list[1:]
        ) * probability_list[0][bags]
        for bags in range(0, number_of_bags + 1)
    )

如果您只有一棵树，则取可用的最高概率（限制是可用袋子的数量）。如果您有n + 1 树，则查看所有可能分配给“新”树 (+ 1) 的袋子，并结合剩余袋子对n 树的最佳分配，然后得出最佳的总体结果 ( max)。

编辑： 一种添加记忆的简单方法是：

def memo(func):
    cache = {}
    def wrapper(n, m, list_of_lists):
        args = (n, m) + tuple(tuple(list_) for list_ in list_of_lists)
        if args not in cache:
            cache[args] = func(n, m, list_of_lists)
        return cache[args]
    
    return wrapper

@memo
def best_allocation(number_of_trees, number_of_bags, probability_list):
    ...