所以我一直在尝试使用以下算法找到大复杂度：
for (i = 1; i ≤ n;i + +)
for (j = 0; j < n; j = j + i)
print(Array[j]);
有人告诉我，最佳方式是使用求和来表示，我知道它可以用某种形式的系列来表示，我真的不知道从哪里开始。我可以看到外部循环迭代 n 次，但内部循环让我着迷。我希望我能在这里推动正确的方向，而不是答案。
【问题讨论】：
标签： loops nested big-o complexity-theory
如果在两个 for 循环中扩展求和数。数组索引应如下所示
(0,1,2,....n-1), (0,2,4,...n-1), (0,3,6,9....n-1) .....(0,n/2),(0)
如果我们观察到第一个括号有 n，第二个括号最坏的情况是 n/2，依此类推，直到最后一个括号有 1强>.
所以求和的总数可以写成
求和 = 总和（从 i = 1 到 n）[n/i]
尝试求解总和，您将得到总和的总数
【讨论】：
让我们按照您的建议使用求和，以获得更分析/代数的方法。
首先，只考虑：
for (i = 1; i <= n; i++)
//some O(1) operation
这很简单，因为 var i 获取从 1 到 n 的所有整数值范围。
我们可以用下面的总结来表达这个循环：
现在，只考虑：
for (j = 0; j < n; j = j + k)
//some O(1) operation
其中 k 是一个常数正整数项（如 1、2、3、... 等），k <= n
在这种情况下 var i 不采用从 0 到 n-1 的所有整数值范围。比如让k=2，那么我们可以用下图来表示正在发生的事情：
您看到的黑色是可能整数的区间，红色表示 var i 所采用的实际整数值。如您所见，var i 正在“跳过”奇数以达到 n-1，因此在这种情况下（当 k=2 时）只取偶数。
结果，当k=2时，复杂度由求和给出：
一般来说，可以对任何 k 执行类似的方法。特别要注意的是，随着 k 趋于 n，复杂度会趋于降低。
为了我们的目的，我们可以重写循环：
for (j = 0; j < n; j = j + k)
作为：
for (j = 0; j < n/k-1; j++)
两者具有相同的复杂性。
最后，考虑：
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 0; j < n; j = j + i)
//some O(1) operation
在内部循环中，i 扮演着与之前的k 相同的角色。这意味着内部循环将使用 1 到 n 范围内的每个可能的 i 值来执行。
改写为：
for (i = 1; i <= n; i++)
for (j = 0; j < n/k-1; j++)
//some O(1) operation
因此，复杂度由以下两个嵌套求和给出：
首先，从内部求和（右侧）开始评估：
注意我无意中将 var 名称从 i 更改为 x，但这并不重要。
我们在这里得到的结果与另一张海报给出的结果完全相同。
现在，如果你只是扩展最后一个总和，结果是：
现在括号中的是第n次谐波数，不要与谐波级数混淆。这是离散数学（和其他领域）中有趣的数字。
这可以表示为：
请注意，从该分析中，您可以获得渐近紧界。
顺便说一句：您可以检查link中的最后一个等式
语法是：
Sum[Sum[1, {j, 0, (n/i)-1}], {i, 1, n}]=Sum[n/x, {x, 1, n}]=n*Sum[1/x, {x, 1, n}]=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)=n*HarmonicNumber[n]
我希望这会有所帮助。
【讨论】：