计算多功能算法的最坏情况渐近运行时间

Question

int coffee(int n) {
    int s = n * n;
    for (int q = 0; q < n; q++)
        s = s - q;
    for (int q = n; q > 0; q--)
        s = s - q;
    return s + 2;
}

int mocha(int n) {
    int r = 0;
    for (int i=0; i<=n; i = i+16)
        for (int j=0; j<i; j++)
            r++;
    return r;
}

int fun(int n) {
    int j=0;
    for (int k = 16; coffee(k) * mocha(k) - k <= n; k+=16) {
        j++;
        cout << "I am having so much fun with asymptotics!" << endl;
    }
    return j;
}

1. 如何计算“有趣”函数的最坏情况渐近运行时间？ 我确定咖啡的运行时间为 $\Theta(n)$，而 mocha 的运行时间为 $\Theta(n^2)$ 但是我该去哪里呢？

2. 计算函数的返回值。假设 n>2 ，并且 n 是一个完美的正方形。 我有点不确定从哪里开始回答这个问题。

Answer 1

在我们分析您的算法的运行时间复杂度之前，在渐近分析（参考：1、2）上下文中需要注意的一点是 O(f(n)) 表示最坏情况（上限）和不是 Θ(f(n))。

您已经正确地提到了最坏情况的渐近运行时间 O(n) 代表 coffee 和 O(n<sup>2</sup>) 代表 mocha 其中 n 是各个函数的输入大小。

现在，查看您的多功能算法，很明显函数fun 是输入n 的入口点。 fun 循环通过 n（使用 k），因此此代码块的最坏情况下运行时间复杂度为 O(n)。

for (int k = 16; /* coffee(k) * mocha(k) */ - k <= n; k+=16) {
    j++;
    cout << "I am having so much fun with asymptotics!" << endl;
}

对于k、coffee 和mocha 的每个值，它们将被调用n/16 次，总体上是O(n)。因此，以下是为函数fun 正确计算最坏情况渐近运行时间的逻辑：

O(fun) = O( O(n/16) * ( O(coffee) + O(mocha) ) )
       = O( O(n/16) * ( O(n) + O(n^2) ) )
       = O( O(n^2 / 16) + O(n^3 / 16) )
       ≃ O(n^3)

O( O(n<sup>2</sup>/16) + O(n<sup>3</sup>/16) ) 可以简化为O(n<sup>3</sup>)，因为n<sup>3</sup> 是公式n<sup>2</sup>/16 + n<sup>3</sup>/16 中的关键因素。