递归调用复杂度答案

【问题标题】：Recursive call complexity递归调用复杂度
【发布时间】：2013-12-07 09:48:05
【问题描述】：

我很难证明这两个递归代码的复杂性。我对他们有一些直觉。我认为第一个是 O(n)，第二个是 O(nlogn)。这些是代码：

def max_v1(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    return max(lst[0], max_v1(lst[1:]))


def max_v2(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    l = max_v2(lst[:len(lst)//2])
    r = max_v2(lst[len(lst)//2:])
    return max(l, r)

【问题讨论】：

这真的取决于你是在谈论算法，还是实现。第一个的实现实际上是 O(N*N)！在实现中，但该算法可以递归编码，几乎与 O(N) 中的相同。原因是因为在python中，一个列表切片（lst[1:]）其实本身就是一个O(N-1)操作。
@mgilson：小心那个感叹号。尽管它在括号之外，但它看起来仍然很像阶乘。
@user2357112 -- 很公平。我把它放在那里是为了强调。不幸的是，我的 5 分钟编辑窗口现在消失了……：-/
我在谈论一个长度为 N 的列表的时间复杂度。我使用了一个递归树，发现深度是 O(n)，现在由于切片它对每个级别进行 O(n- 1) 还是 O(1)？
@user2751595 切片是线性时间操作，而不是恒定时间。您正在为每个O(n) 级别做O(n) 工作。特别是第一个的复杂性大约是O(1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n-1) = O(n(n-1)/2) = O(n^2)。第二个是O(nlog(n))，因为您正在为每个O(log(n)) 级别进行O(n) 工作。如果您使用start 和end 指针，则两个解决方案都将是O(n)，但第二个解决方案将使用更少的堆栈深度，而第一个解决方案对于长于1000 的列表将失败（由于默认递归限制） .

标签： python recursion complexity-theory

【解决方案1】：

def max_v1(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    return max(lst[0], max_v1(lst[1:]))

max(...) 是 O(2)，每个 max_v1 函数调用调用一次，但是每个函数调用的切片是 O(N)。因此，我们得到 O(2*N*N) = O(N²)。

def max_v2(lst):
    if len(lst)== 1:
        return lst[0]
    l = max_v2(lst[:len(lst)//2])
    r = max_v2(lst[len(lst)//2:])
    return max(l, r)

max_v2 每次调用max_v2 函数调用两次，每次传递一半的list，由于切片和函数调用，导致 O(2*N*log(N))。 max() 每次函数调用都会调用一次，因此总共会给出 N*O(2) = O(N)。因此，我们得到 O(N+2*N*log(N)) = O(N*log(N))。

【讨论】：

由于只有两个元素被传递给 max(...)，我认为在第一个示例中，'max' 应该花费 O(2)，即恒定时间。如果我错了，请纠正我。
@sk4x0r 谢谢，你是对的。我进行了编辑并修复了它。不过，第一个仍然是 O(N^2)。