在图中找到度数小于其邻居的所有顶点答案

【问题标题】：finding all vertices in a graph with degree smaller than their neighbors在图中找到度数小于其邻居的所有顶点
【发布时间】：2008-11-13 16:20:20
【问题描述】：

我正在尝试编写一种算法，该算法将在图中找到度数小于其邻居的所有顶点的集合。我最初的方法是找到每个顶点的度数，然后遍历列表，将每个顶点的度数与其邻居的度数进行比较。不幸的是，这看起来可能非常耗时。有没有更有效的方法来找到这个集合？

【问题讨论】：

标签： algorithm graph-theory

【解决方案1】：

一条评论 - 如果您正在使用无向图（谢谢，Brian R. Bondy），一旦您确定一个顶点的度数小于其所有邻居的度数，您就不会'不需要检查邻居，因为他们都不会拥有该属性。考虑使用这些知识来帮助您并加快速度。

【讨论】：

如果是有向图，则不成立。
这是一个很好的观点！哦，远离学术界的时间让我的思想变得迟钝！

【解决方案2】：

也许“这看起来可能非常耗时”，但有更好的方法来找出答案:-)

假设您已将图形存储为邻接列表。要找到您正在寻找的集合，您必须查看所有边缘，因此我们为算法设置了 Ω(|E|) 的下界。找到每个顶点的度数需要时间 O(|E|)（因为您只查看每条边一次；另一个证明是使用 ∑d(v)=2|E| 的事实）。比较每个顶点与其所有邻居的度数也只需要 O(|E|) 时间（同样，对于每条边，您只进行一次比较）。这意味着您的算法在 O(|E|) 时间内运行（大约 2|E|“步骤”，但 CPU 指令的精确数量取决于您的实现），这符合下限。因此，在最坏的情况下，您的“蛮力”算法本质上是（直到一个小常数）尽可能快，因此不值得进一步优化。

如果您正在为实际应用程序执行此操作，并且您确实发现您的算法花费了太多时间，那么请使用分析器来查找要优化的部分。优化算法的第二阶段是否至关重要，这一点并不明显。

【讨论】：

【解决方案3】：

我想一个无向图的贪心方法如下：

let Q = all nodes which haven't been checked (initialize all V)
let Q* = all nodes which satisfy the required condition (initialize to empty)
start with an arbitrary node, v in Q
while Q is not empty
    let minDeg be the minimum degree of all v's neighbors
    if degree(v) < minDeg
        add v to Q*
        remove all neighbors of v from Q
        remove v from Q
        set v = new arbitrary node, v in Q
    else
        remove v from Q
        set v = v's neighbor in Q of minimum degree

这种算法可能稍微高效一些，因为在每次迭代中，它要么找到一个令人满意的节点，要么检查一个度数较低的新节点并从图中删除一个节点。

在最坏的情况下，它相当于你的蛮力算法。不过，平均而言，我认为它应该表现更好。

【讨论】：