近似整数分配问题的最优解的算法答案

【问题标题】：Algorithm to approximate an optimal solution for an integer allocation problem近似整数分配问题的最优解的算法
【发布时间】：2014-12-03 12:05:06
【问题描述】：

我有以下问题：

给定一组变量的总和，例如 { a + b, b + c, c + d, a + a + d, b }，找到变量的正整数值，使得所有和都不同且总和最大尽可能小。

是否有算法可以找到或近似解决此类问题？

【问题讨论】：

让我想起了布尔可满足性，这通常是 NP 完全的，我认为这里同样适用。在这种情况下，您可能会得到一个很好的快速近似值，O(N^2) 或更好。您可能要考虑猜测最高金额将是多少，然后尝试查看是否可能。猜测的总和与实际总和相比越高，就越容易找到有效的（如果不是最优的）解决方案。
你有什么样的限制？例如每个和中有多少项，有多少个和，有多少个变量，一个变量在一个和中可以重复多少次？
@PeterdeRivaz 在我所拥有的具体实例中，每个变量都有一个总和，其中仅包含该变量以及其他一些总和。大约一半的变量只出现一次（在它们单独出现的总和中）。我的具体实例有大约 25 个变量和 52 个总和。每个和的加数不超过 3 个。在每个总和中，每个变量出现的频率不超过两次。如果对您有帮助，我可以写下实例。
不确定有什么好的算法，但您可以尝试使用整数优化工具，例如glpsol
我会尝试使用约束求解器（例如 z3）。 MIP 求解器不能很好地处理所有不同的约束。

标签： algorithm mathematical-optimization discrete-mathematics diophantine

【解决方案1】：

我创建了一个可能的solution and an implementation in C#。希望这是你需要的。如果有人证明它是正确/不正确但它有效并且结果看起来正确，那就太好了。理论细节如下。它的复杂性与 O(N!*M^3*Log2(N)) 有关，其中 N 是变量的数量，M 是所有和的总和数。

顺便说一句，对于您的示例，它给出了以下结果：

c=3, a=2, d=2, b=1
{a+b=3; b+c=4; c+d=5; a+a+d=6; b=1}
max=6

更新

算法理论。

假设变量是有序的，例如a >= b >= c >= .... 假设一组总和是一个 Bag，如果其中的所有总和都是不同的。 Bag 中的所有总和可分为两组：不包含变量a 的总和和包含变量的总和。我们将第一组称为Head，将第二组称为Tail。请注意，两者都是 Bags，因为它们包含不同的总和。我们可以从 Tail 中的每个总和中减去 a，以便所有总和保持不同（即 Tail 仍然是 Bag）。这样我们就得到了两个没有变量a的包。

我们从两个包中排除变量b 并得到四个包的类似方式。我们对每个变量重复这个操作，直到我们得到最后一个变量的总和（假设它是d）。 d 的最小值是 1。

之后，我们可以返回上一步并将变量c 包含在尾部的总和中。请记住，我们有很多头尾对，需要将它们重新加入。为此，我们将 c 添加到每个 Tail 的每个总和中，这样 Tail 的总和必须与 Head 不同。

如何计算c？这个想法是计算它的 invalid 值，然后取不是 invalid 并且等于或大于d 的最小值。使用条件 HeadSum != TailSum + c => c != HeadSum - TailSum 计算无效值很简单。对于尾和和头和的每个组合，我们得到所有无效值。

折叠所有头尾对并计算每个变量，我们得到案例a >= b >= c >= d 的解决方案。然后我们为a >= b >= c >= d的每个排列计算一个解，并找到最小的一个。

PS 如果有人提供更好的解决方案，那就太好了，因为我认为我的算法有点近似（但很好的近似），甚至更好地证明它。最糟糕的是N! 复杂性，因为排列，我仍然不知道如何摆脱它。

【讨论】：