根据时间复杂度排列函数答案

【问题标题】：Arrange functions based on their time complexity根据时间复杂度排列函数
【发布时间】：2021-06-16 20:52:29
【问题描述】：

将以下代表运行时间的函数从小到大排列（根据相对于 n) 的增长率并将那些在同一等价类中的函数分组

函数列表

2n^3+12n^2+5, 
8(log n)^2, 
1.5^n, 
n^4-12n^3, 
4n^3(log n), 
4n^3, 
n!, 
7n+6

My solution in ascending order is :
8(log n)^2 - logarithmic complexity
7n+6       - linear complexity
2n^3+12n^2+5, 4n^3(log n), 4n^3 - polynomial complexity
n^4-12n^3 - polynomial complexity
1.5^n - Factorial complexity
n! - Exponential complexity

不确定我所做的是否正确。任何反馈将不胜感激。

【问题讨论】：

为什么说4n^3(log n) 等价于4n^3？你试过证明吗？
我不太确定。我认为 4n^3(log n) 可能具有更高的复杂性。不，我没有试图证明。
那么，我想你应该试试。这是一个数学问题，每个答案都应该可以用数学方法证明。如果你不能证明你的推理是正确的，那么你就没有完成。

标签： algorithm function time-complexity discrete-mathematics

【解决方案1】：

复杂度如下：

2?³+12n²+5 = O(?³)
8(log?)² = O(log²?)
1.5^? = O(1.5^?)
?⁴−12?³ = O(?⁴)
4?³log? = O(?³log?)
4?³ = O(?³)
?！ = O(?!)
7?+6 = O(?)

按复杂程度分组并按升序排列时：

O(log²?)
- 8(log?)²
O(?)
- 7?+6
O(?³)
- 2?³+12n²+5
- 4?³
O(?³log?)
- 4?³log?
O(?⁴)
- ?⁴−12?³
O(1.5^?)
- 1.5^?
O(?!)
- ?！

因此，您的输出本质上存在一个区别：O(?³log?) 不是 O(?³)：第一个是更大的顺序：

我们可以通过反证法来证明这一点。如果我们暂时假设 O(?³log?) 是 O(?³)，那么我们可以找到一个 ?₀ 和一个? 使得 ?³log? ≤ ??³ 对于所有 ? > ?₀。但这意味着 log? ≤ ? 或 ? ≤ 2^?。这对于任何 ? > 2^? 都不成立，因此命题不成立。

另一个更正：标签“指数”和“阶乘”在您的输出中被反转了。

O(?!) 是阶乘，O(1.5^?) 是指数。

【讨论】：