谐波级数的大θ符号

【问题标题】：big theta notation of harmonic series谐波级数的大θ符号
【发布时间】：2014-11-21 16:38:21
【问题描述】：

我想证明谐波级数的大 theta 符号是 theta(logn)。我想用积分来证明这一点。

我试图以这种方式展示这一点：

**ln(n)=integral [1 to n] dx/x <= sum k=1 to n of 1/k <= 1 + integral [2 to n] dx/x = 1 + ln(n)**

这样它不起作用，因为“1”我无法证明谐波级数的紧界是 theta(logn)。

我怎样才能展示这一点，并克服这个障碍？请帮忙。

谢谢大家。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

获得界限的一个好方法是将估计值应用于总和中的每个项......无论是上限估计还是下限。例如：

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 >= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/ 8 + 1/8 + 1/8 + 1/8

然后，将 (1/4 + 1/4)=1/2 和 (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8)=1/2 分组并继续。你最终会得到 1/2“一些次数”的总和。多少次？好吧，log_2(n) 很多次——我会留给你找出原因。

您可以通过类似的方式获得高估，或者更简单的方法是使用积分。请注意，对于 [n, n+1] 范围内的 x，1/(x-1) >= 1/n。

所以 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n

【讨论】：