将 N 个元素添加到空的 AVL 树中的运行时间答案

【问题标题】：Running time of adding N elements into an empty AVL tree将 N 个元素添加到空的 AVL 树中的运行时间
【发布时间】：2016-04-23 10:08:21
【问题描述】：

“高度为 h 的 avl 树的最小节点”的公式是递归的： n(0)=1, n(1)=2 n(h)= 1+n(h-1)+n(h-2)

另一方面，我在互联网上找到了这个，用于解释将 N 个元素添加到空 avl 树的复杂性：

Well, imagine the tree being built.
One by one, the elements go through the tree nodes, and chose their abode by          taking either a left or a right. The tree balances itself every time the heights   are too skewed.

Of course, the cost of balancing the tree is an O(1) operation, so I do not consider that in the complexity analysis.

Complexity: log(1)+log(2)+log(3)+....+log(n)
=log(n!)
=O(nlogn-n+O(log(n)))
=O(nlogn)

但这是我不明白的，为什么计算日志（n！）如果不是每次添加元素时高度都会增加？由于提出的递归公式适用于大 N，因此 avl 高度仅在大量元素后才会增加，所以渐近应该不是比 log(n!) 更好吗？

另外，最坏的情况是什么？在这种复杂的情况下，是否有更坏的情况和最好的情况？例如，假设我要添加特定的 N 个元素，不同的运行是否有更好的运行时间？或者我可以说从高级中知道每个元素将被添加到哪里，因此运行时间是有限的？

【问题讨论】：

标签： data-structures time-complexity avl-tree

【解决方案1】：

更简单的上界解释

如果您有 n 个元素，则插入的最长时间是 log(n) 时间。如果我们假设所有 n 项的这种最坏情况的插入时间，那么您会得到O(n*log(n)) 而无需复杂的解释。

另一种看待它的方式是：

log(1) + log(2) + log(3) + ... + log(n)

【讨论】：