假设给定一个未排序的整数数组 S 和 T 中的范围列表，返回每个范围的中位数列表。
例如，S = [3,6,1,5,0,0,1,-2]，T = [[1,3],[0,5],[4,4]]。返回 [5, 2, 0]。
有没有比在每个范围上运行 Median of Medians 更好的方法？我们可以以某种方式预先计算/缓存结果吗？
【问题讨论】：
让我给你介绍一个有趣的数据结构，叫做 Wavelet Tree:
您通过查看整数的位串表示并递归地二等分它们来构建它：
您首先将整数分为最高有效位 (MSB) 为 0 的整数和最高有效位 (MSB) 为 1 的整数。但是，您将 MSB 以其原始顺序存储在位向量中。然后对于这些整数子集中的每一个，忽略 MSB 并递归地为下一个最高有效位重复此构造。
如果你重复这个直到最低有效位，你会得到一个像这样的树结构（注意索引只是为了说明，你应该只存储位向量）：
你可以很容易地看到，这个数据结构的构建需要 O(n log N) 时间，其中 n 是整数的个数，N 是它们的最大值。
小波树具有很好的特性，即它们同时表示原始序列以及排序后的对应物：
如果您读取最高位向量，您将获得输入序列的 MSB。要重建条目的下一位，您可以交替查看根的左孩子（如果 MSB 为 0）或右孩子（如果 MSB 为 1）中的位向量。对于后面的位，可以递归继续。
如果从左到右读取叶节点，则得到排序后的序列。
要有效地使用小波树，您需要对位向量进行两个基本操作：
请注意，有些位向量表示只需要 o(n)（小 o）位的额外存储空间即可在 O(1) 中实现这些操作
您可以按如下方式使用它们：
如果您查看上述序列中的前 7 个，则它的索引为 3。如果您现在想知道它在右子节点中的索引，只需调用 rank1(3) 在根位向量上得到 2，正好是右孩子中前 7 个的索引
如果您在包含 4544 的子节点处，并且想知道第二个 4（索引为 2）在包含 46754476 的父节点中的位置，则调用 select0(2) on父的位向量并获得索引 5。
现在如何用这个实现范围中值查询？你需要做的最重要的认识是找到一个大小范围k的中值等同于选择 k/第 2 个 元素。
该算法的基本思想类似于快速选择：将元素范围一分为二并仅递归到包含您要查找的元素的范围内。
假设我们要找到从第二个 2（包括）开始到 1（不包括）结束的范围的中位数。 这些是 7 个元素，因此中位数在该范围内具有等级 4（第四小元素）。 现在使用 rank0/1 在这个范围的开始和结束的根位向量中调用，我们在根的孩子中找到相应的范围：
如您所见，左侧范围（仅包含较小的元素）只有 3 个元素，因此排名为 4 的元素必须包含在根的右孩子中。我们现在可以在该右孩子中递归搜索排名为4 - 3 = 1 的元素。通过递归地递减小波树直到到达叶子，因此您可以在小波树的每个级别仅使用两个秩操作（à O(1) 时间）来识别中值，因此整个范围中值查询需要 O(log N) N 是输入序列中的最大数的时间。
如果您想查看这些小波树的实际实现，请查看实现上述位向量和不同 WT 变体的Succinct Data Structures Library (SDSL)。
【讨论】：