使用广度优先搜索按排序顺序列出二进制堆中的值？

Question

我目前正在阅读this paper，在第五页，它讨论了它认为是常识的二进制堆的属性。然而，他们提出的观点之一是我以前从未见过并且无法理解的东西。作者声称，如果给定一个平衡的二叉堆，则可以使用标准的广度优先搜索在每个元素 O(log n) 时间内按排序顺序列出该堆的元素。以下是他们的原话：

在平衡堆中，任何新元素都可以 插入对数时间。我们可以按重量顺序列出堆的元素，取对数 生成每个元素的时间，只需使用广度优先搜索。

我不确定作者的意思。当他们说“广度优先搜索”时，首先想到的是从根开始对树元素进行广度优先搜索，但这不能保证按排序顺序列出元素，也不需要对数时间每个元素。例如，在这个最小堆上运行 BFS 会产生乱序的元素，无论你如何打破关系：

             1
            / \
          10   100
         /  \
        11  12

这总是在 11 或 12 之前列出 100，这显然是错误的。

我错过了什么吗？是否有一个简单的广度优先搜索，您可以在堆上执行以使用对数时间按排序顺序取出元素？显然，您可以通过每次删除最小元素来破坏性地修改堆来做到这一点，但作者的意图似乎是这可以非破坏性地完成。

Answer 1

您可以通过使用优先级队列遍历堆来按排序顺序取出元素（这需要另一个堆！）。我想这就是他所说的“广度优先搜索”。

我认为您应该能够弄清楚（考虑到您在算法中的代表），但基本上优先级队列的关键是节点的权重。您将堆的根推入优先级队列。那么：

while pq isn't empty
    pop off pq
    append to output list (the sorted elements)
    push children (if any) onto pq

我不太确定（完全）这是否是他所指的，但它模糊地符合描述并且没有太多活动，所以我想我不妨把它放在那里。

Answer 2

如果你知道所有低于 100 的元素都在左边，你可以向左走，但无论如何，即使你到达 100，你也可以看到左边没有元素，所以你出去了。在任何情况下，在您意识到没有要搜索的元素之前，您最坏的情况是从节点（或任何其他节点）出发两次。比你进入这棵树的人最多 2*log(N) 次。这被简化为 log(N) 复杂度。

要点是，即使您“搞砸”并遍历到“错误”节点，您最坏的情况也是会去该节点一次。

编辑
这就是堆排序的工作原理。您可以想象，每次取出顶部元素时，您都必须使用 N(log n) 复杂度来重建堆。