graph - 添加新边后更新最小生成树的实现

Question

这是消费税

假设给定图 G 的最小生成树 T （有 n 个顶点和 m 个边）和一个权重为 w 的新边 e = (u, v) 我们将添加到 G 中。给出一个有效的算法来找到最小值 图 G + e 的生成树。 您的算法应该在 O(n) 中运行 是时候获得全额学分了。

我有这个想法：

In the MST, just find out the path between u and v. Then find the edge (along the path) with maximum weight; if the maximum weight is bigger than w, then remove that edge from the MST and add the new edge to the MST.

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棘手的部分是如何在 O(n) 时间内做到这一点，而且我也被卡住了。

问题是如何存储 MST。在普通 Prim 算法中，MST 存储为父数组，即每个元素都是相应顶点的父节点。

那么假设消费税给了我一个指示 MST 的父数组，我怎样才能在 O(n) 中释放上述算法？

首先，如何从父数组中识别 u 和 v 之间的路径？我可以为 u 和 v 设置两个祖先数组，然后检查共同祖先，然后我可以获得路径，尽管是向后的。我觉得这部分，要找到共同的祖先，至少得在O(n^2)内完成吧？

然后，我们有了路径。但是我们仍然需要找到沿路径的每条边的权重。由于我认为该图将使用 Prim 算法的邻接列表，因此我们必须执行 O(m)（m 是边数）来定位边的每个权重。

...

所以我认为不可能在 O(n) 中执行该算法。我错了吗？

Answer 1

你的想法是对的。请注意，找到u 和v 之间的路径是O(n)。我假设你有一个parent array 来识别 MST。跟踪从u 到v 或u 到root vertex 的路径（对于最大边缘）应该只需要O(n)。如果您到达root vertex，只需跟踪从v 到u 或root vertex 的路径。

现在您有了来自u -> u1 ... -> max_path_vert1 -> max_path_vert2 -> ... -> v 的路径，删除边max_path_vert1->max_path_vert2（假设它大于添加的边）并反转u->...->max_path_vert1 的父项并标记parent[u] = v。

编辑：为清楚起见提供更多解释

请注意，在 MST 中，任何一对顶点之间都只有一条路径。因此，如果您可以从u->y 和v->y 追踪，那么您最多只能追踪n 顶点。如果您跟踪的顶点数超过了n，则意味着您访问了一个顶点两次，这在 MST 中不会发生。好的，现在希望你确信从 u->y 和 v->y 跟踪是 O(n)。一旦你有了这些路径，你就建立了从u->v 开始的路径。你怎么看？我假设这是一个无向图，因为为有向图查找 MST 本身就是一个不同的概念。对于无向图，当您有来自x->y 的路径时，您就有来自y-x 的路径。所以，u->y->v 存在。您甚至不需要从y->v 追溯，因为v->y 的权重与y->v 的权重相同。从u->y 和v->y 跟踪时，只需找到权重最大的边即可。

现在在 O(1) 中寻找边权重；您如何存储当前的重量？邻接表还是邻接矩阵？对于 O(1) 访问，以存储父顶点数组的方式存储它。所以，weight[v] = weight(v, parent[v])。因此，您将拥有 O(1) 访问权限。希望这会有所帮助。

Answer 2

嗯 - 你的解决方案是正确的。

但是关于实现，我不明白为什么要使用 G 而不是 T 来查找 u 和 v 之间的路径。使用 T 中的任何搜索遍历来查找 u 和 v 之间的路径，将为您提供 O(n)。 - 也就是说，您可以假设 v 是根并执行深度优先搜索算法 [在这种情况下，您必须假设 v 的所有邻居都是孩子] - 一旦找到 u，就停止 DFS - 然后，堆栈中的节点对应于 u 和 v 之间的路径。

之后很容易找到路径中每条边的成本 (O(n))，删除/添加边也很容易。总共 O(n)。

这有什么帮助吗？

或者你可能得到 O(n^2) - 根据我的理解 - 因为你在 O(n) 中访问 T 中的顶点 v 的子级 - 在这里，你必须将你的数据结构呈现为映射数组，以便将成本降低到 O(1)。 [例如，{a,b,c,u,w}（顶点）-> {0,1,2,3,4}（顶点索引）。