不同的最小生成树答案

【问题标题】：Distinct minimum spanning tree不同的最小生成树
【发布时间】：2019-02-13 10:00:30
【问题描述】：

对于一个连通的、加权的、无向图 G： G 有一个唯一的 MST，如果对于 G 的每个割，都有一个唯一的最小权重边穿过割。

这个说法是真的吗？

我认为是错误的，因为对于给定链接中的下图，可能有多个 MST。

https://drive.google.com/file/d/1yDK3juPxeDBdS-aEOx0aAsphy4odZ55l/view?usp=drivesdk

【问题讨论】：

如果有一个唯一的最小边穿过每个切割，这是真的。您的图片有剪切，没有唯一的最小边缘。
请举个例子。
例如，如果将左上角的顶点从其余顶点中切掉，那么它会与两个权重为 5 的边相交。

标签： data-structures graph cut minimum-spanning-tree

【解决方案1】：

如果您的意思是一个连通图 G，其边成本都是不同的。则 G 有唯一的最小生成树。

证明：假设有两个不同的 MST，称为 T1 和 T2，它们有不同的边集——T1 的 {t11, t12, ... t1n-1} 和 T2 的 {t21, t22, ... t2n-1}。因此，设 ti 是仅在 T1 中（不在 T2 中）权重最小的边。由于它是最小的，所以 ti 必须包含在 MST 的“每个选择”中。也就是说，T1 和 T2 的 MST 都会有它。但这与 ti 的定义相矛盾。

【讨论】：