在 Mathematica 中查找隐函数的根

Question

在 Mathematica 中查找隐函数的根

我有一个隐式函数，例如：

f(x,y) = x^3 + x*y + y^2 - 36

我想求根，即方程f(x,y) = 0的解

解法很简单：

ContourPlot[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]

但是，我希望拥有绘图中的数据，而不仅仅是视觉绘图。 那么如何找到绘图的数据呢？

Answer 1

我不确定我是否正确解释了您的第二个问题，但假设您需要生成的 ContourPlot 中的 (x,y) 点列表，执行此操作的一种方法可能如下：

plot = ContourPlot[
  x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]

获取点列表

points = Cases[Normal@plot, x_Line :> First@x, Infinity];

用 ListPlot '看看'

ListPlot[points, PlotRange -> {{-2 Pi, 2 Pi}, {-3 Pi, 3 Pi}}]

给予

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Nasser 正确地指出，这个问题之前已经解决过。 Here 是指向基本相同问题的一个链接，而 Szabolcs 的 this answer 是相关的。

关于上面给出的答案，this method 可能更直接：

points2 = Cases[plot, x_GraphicsComplex :> First@x, Infinity]

最后，我应该承认“LunchTime Playground. Fun with Mathematica: How to extract points from a plot”，参见here，它给出了上面建议的两种方法（我现在经常使用这些方法） ）。

编辑 2

此方法是对上述方法 1 的改进，因为点是作为 {x,y} 值列表（列表列表）获得的，没有任何多余的 { }。

Cases[Normal@plot, Line[{x__}] :> x, Infinity]

Paul Abbott 在 Mathematica Journal Vol 7, No 2, pp 108-112, 1998 中的一篇文章， 在区间内找根，提供了很多有用的信息，可在here

他指出以下也有效

Cases[Normal@plot, _Line, -1][[1, 1]]

和（！）

plot[[1, 1]]

我在 cmets 中引用了 FreshApple 的 question，其中可以找到以下方法的（轻微变体）：

InputForm[plot][[1, 1, 1]]

以下计算结果为True

plot[[1, 1]] == Cases[Normal@plot, Line[{x__}] :> x, Infinity] == 
 InputForm[plot][[1, 1, 1]] == Cases[Normal@plot, _Line, -1][[1, 1]]

编辑 3

只是或有趣...

ListPlot@ContourPlot[x^2 + y^2 == 1, {x, -1, 1}, {y, -1, 1}][[1, 1]]

给予

Answer 2

我鼓励您探索documentation on equation solving，尤其是Solve 和NSolve 函数。

编辑

p = ContourPlot[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0, {x, -2 Pi, 2 Pi}, {y, -3 Pi, 3 Pi}]
p //InputForm

复制并粘贴您需要的部分。

或者，在我看来，这是对您的实际问题的更好解决方案。

sol = Solve[x^3 + x*y + y^2 - 36 == 0,{x}][[1]] 

您可能需要一些选项来获得正确的解决方案。

Table[{x/. sol,y},{y, -3 Pi, 3 Pi, 0.02}]

Answer 3

对 Verbeia 的回答贡献 0.02 美元：

记得检查 x(y) 和 y(x) 解决方案，因为其中一个可能比另一个更干净。

在你的例子中：