计算求解具有奇异矩阵的方程组答案

【问题标题】：Computationally solve system of equations with singular matrix计算求解具有奇异矩阵的方程组
【发布时间】：2013-09-27 18:14:09
【问题描述】：

我有这个奇异矩阵（我称之为 A）

-3a          1         0    0
 3a    -2a - 1         2    0
 0      2a        -a-b-2    3
 0           0     a+b     -3

我正在尝试求解 Ax = 0，使得 x 中的元素之和为 1。我想根据 a 和 b 求解 x。我知道如何手动执行此操作（使用高斯消元根据第四个分量编写所有分量，然后设置第四个分量以便对解决方案进行归一化）。但是有没有办法通过计算来做到这一点？我可以在 Python、Mathematica 或 R 中执行此操作。（或 MATLAB，但我认为没有办法在 MATLAB 中执行此操作。）

我复制的代码是通过向矩阵添加第五行来实现的，

1    1    1    1

然后使用 QR 分解来找到最小二乘解。但是，我认为我无法做到这一点，因为我没有 a 和 b 的值，我想根据 a 和 b 来解决解决方案。

【问题讨论】：

标签： python r wolfram-mathematica linear-algebra

【解决方案1】：

In[1]:= A = {{-3a,1,0,0}, {3a,-2a-1,2,0}, {0,2a,-a-b-2,3}, {0,0,a+b,-3}};
x = {p, q, r, s};
sol = Reduce[A.x==0 && p+q+r+s==1 && Det[A]==0, x, Backsubstitution->True]

Out[3]= (1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) != 0 && 
p == 1/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
q == (3*a)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
r == (3*a^2)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b) && 
s == (a^3 + a^2*b)/(1+3*a+3*a^2+a^3+a^2*b)

In[4]:= x=x/.ToRules[sol (* Watch out for that denominator!!! *)];
Simplify[A.x]

Out[5]= {0, 0, 0, 0}

In[6]:= Simplify[Total[x]]

Out[6]= 1

【讨论】：

谢谢，我不知道你能做到！
你知道我如何在更大的系统上做到这一点，比如 11x11 吗？当我尝试时，它需要永远运行。
如果您查看由小整数组成的 11x11 矩阵的行列式的大小，并且包含与 4x4 问题中包含变量的表达式的百分比大致相同，那么我想您会对您要求它解决的问题的大小。或者，简短的回答，不。但是，一些你真正对答案感兴趣的问题可能值得等待数天或数周。但是不知道它是否正在取得进展，或者如果它完成后会给出有用的答案，这很烦人。

【解决方案2】：

在 MATLAB 中有一种方法可以做到这一点，但我无法比这更进一步。

syms a b
A = [ -3*a,         1,           0,  0;
       3*a, - 2*a - 1,           2,  0;
         0,       2*a, - a - b - 2,  3;
         0,         0,       a + b, -3;
         1,         1,           1,  1];
x = solve(A,[0 0 0 0 1]')

我收到以下警告：

Warning: 20 equations in 2 variables. 
Warning: Explicit solution could not be found.

【讨论】：