如何避免Mathematica中矩阵本身乘以矩阵转置的奇异性

【问题标题】：how to avoid singularity of multiplication of matrix transpose by the matrix itself in Mathematica如何避免Mathematica中矩阵本身乘以矩阵转置的奇异性
【发布时间】：2026-01-18 10:45:02
【问题描述】：

我在 Mathematica 中编写了下一个代码，以获得矩阵转置乘以矩阵本身的逆：

A = RandomInteger[{1, 20}, {3, 51}];
B = A\[Transpose].A;
F = Inverse[B];
F // MatrixForm

它总是告诉我矩阵 (B) 是奇异的 - 尽管 (A) 是随机的，而矩阵与其转置相乘是可以的!!!!!!!!!

A = RandomInteger[{1, 20}, {3, 51}];
O = A.A\[Transpose];
L = Inverse[O];;
L// MatrixForm

有人可以向我解释为什么第一种情况给我奇异矩阵而第二种情况可以吗？我该怎么做才能使第一个案例非单数？是不是代码有问题？

【问题讨论】：

标签： matrix wolfram-mathematica

【解决方案1】：

brenderson 在这里给出答案：B is positive semidefinite (PSD)

为了使B可逆，它必须是A是一个窄矩阵 (n ≤ m) 具有完整的列秩。在 A 是严格宽的情况下矩阵（m

例如

A = RandomInteger[{1, 20}, {3, 4}];
B = Transpose[A].A;
{m, n} = Dimensions[A];
If[n <= m, "A is a narrow matrix", "A is a wide matrix"] <>
 If[Det[B] == 0, " ; B is singular", " ; B is invertible"]

A 是一个宽矩阵； B是单数

A = RandomInteger[{1, 20}, {4, 3}];
B = Transpose[A].A;
{m, n} = Dimensions[A];
If[n <= m, "A is a narrow matrix", "A is a wide matrix"] <>
 If[Det[B] == 0, " ; B is singular", " ; B is invertible"]

A 是一个窄矩阵； B是可逆的

【讨论】：