如何在 CVXPY 中对两列的内积创建不等式约束？答案

【问题标题】：How to create an inequality constraint on the inner product of two columns in CVXPY?如何在 CVXPY 中对两列的内积创建不等式约束？
【发布时间】：2017-03-16 02:16:11
【问题描述】：

假设我的约束是矩阵变量的第一列和第三列的乘积大于一。如何在 CVXPY 中实现？示例：

w = Variable(4,3)

在 Matlab 中，我的约束是：

w(:,1)'*w(:,3)>1

如何在 CVXPY 中实现它？或者我们可以在 CVXPY 下进行点积吗？ CVXPY 不支持numpy.dot。

【问题讨论】：

标签： python python-2.7 mathematical-optimization convex-optimization cvxpy

【解决方案1】：

如果两个变量都是正数，那么集合 {x * y > 1} 实际上是凸的，而函数 x*y 既不是凸的也不是凹的。这可以通过查看二阶导数矩阵的特征值来检查

(x*y)'' = 
[[0, 1],
 [1, 0]]

它们是{-1, 1}。矩阵不是正定的，也不是负定的。

有时您可以将问题转化为凸问题。在这种情况下，这可以通过取两边的对数来实现：

log(x) + log(y) >= 0

这是一个有效的限制，因为 log(x) 和 log(y) 都是凹函数并且不等式大于或等于。该约束将通过“有纪律的凸规划”规则。祝你好运。

【讨论】：

等一下。这里的 $x$ 和 $y$ 是向量。向量的对数是什么意思？
@Apprentice 在我的示例中，x 和 y 不是向量。回想起来，我的回答应该是评论，因为它并没有真正解决问题。此外，我不确定问题中描述的集合是凸集

【解决方案2】：

不可能将两个变量相乘，所有约束都必须是线性的（通常DCP）。

如果您尝试执行禁止操作，CVXPY 会引发 DCPError。

import cvxpy
x = cvxpy.Variable()
y = cvxpy.Variable()
constraints = [x*y > 1]

Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "C:\Python27\lib\site-packages\cvxpy\expressions\expression.py", line 43, in cast_op
    return binary_op(self, other)
  File "C:\Python27\lib\site-packages\cvxpy\expressions\expression.py", line 226, in __mul__
    raise DCPError("Cannot multiply two non-constants.")
cvxpy.error.DCPError: Cannot multiply two non-constants.

如果至少有一个变量是整数/布尔值，您可以使用 slack 变量来避免这种情况。否则，您可以使用任何非线性求解器，例如IPOPT。

here 回答了同样的问题。

【讨论】：

【解决方案3】：

Gram 矩阵Q := W.T * W 的东北项有严格的不等式约束，它是对称的和半正定的。因此，请改为使用 Gram 矩阵 Q，然后引入严格的不等式约束 Q[0,2] > 1。

例如，这是一个目标为零的半定程序 (SDP)：

>>> from cvxpy import *
>>> Q = Semidef(3)
>>> objective = Minimize(0)
>>> constraints = [ Q[0,2] > 1 ]
>>> prob = Problem(objective,constraints)
>>> prob.solve()
0.0
>>> Q.value
matrix([[  2.33101529e+00,   2.57980002e-30,   1.76709537e+00],
        [  2.57980002e-30,   2.57740598e-15,  -2.00304682e-30],
        [  1.76709537e+00,  -2.00304682e-30,   2.33101529e+00]])

注意东北入口是1.76709537e+00 > 1。要从 Gram 矩阵 Q 中恢复矩阵 W，请使用 Cholesky 分解并附加一行零以获得 4 x 3 矩阵，如下所示：

>>> import numpy as np
>>> L = np.linalg.cholesky(Q.value)
>>> W = (np.insert(L, 3, np.array([0,0,0]), axis=1)).T
>>> W
matrix([[  1.52676628e+00,   1.68971508e-30,   1.15741053e+00],
        [  0.00000000e+00,   5.07681591e-08,  -7.79768444e-23],
        [  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   9.95698832e-01],
        [  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00]])

让我们验证一下：

>>> W.T * W - Q.value
matrix([[  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   0.00000000e+00],
        [  0.00000000e+00,   0.00000000e+00,   7.00649232e-46],
        [  0.00000000e+00,   7.00649232e-46,   0.00000000e+00]])

【讨论】：