我需要计算曲线之间的某种距离。
这些是一般曲线，可能不是函数 - 也就是说，x 的某些值可能映射到多个值。
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曲线以 X、Y 对列表的形式给出，逻辑曲线是按给定顺序通过所有点的线。一个典型的数据集将包含大约 1000 个点
如上所述，曲线可能不是函数，但通常类似于函数
这个问题我们是什么阻止使用 interp1 或曲线拟合工具箱（在 Matlab 中）
我在考虑曲线之间区域面积的距离度量 - 但任何合理的替代方案都可以。
编辑 to 曲线的示例图，以及我要计算的区域
首选 Matlab 解决方案，但其他语言也可以。
【问题讨论】：
标签： matlab curve-fitting spline
如果您有 y = f(x) 类型的函数并且它们定义在同一个域中，那么查找“距离”的常用方法是使用 L2 范数，如此处 http://en.wikipedia.org/wiki/L2_norm#p-norm 所述。这只是函数平方差的绝对值的积分。如果你有参数曲线，那么你不能直接使用这种方法。如果 L2 规范不足以满足您的要求，那么您将需要对“距离”的含义提供更具体的定义。如果您不清楚您需要什么，请尝试查看不同类型的数学范数，看看是否有任何常用的是您需要的（即 L1 范数，统一范数）。上面的维基百科链接是一个很好的起点。如果 L2 足够好，那么你需要一种方法来计算你所拥有的积分 - 那里有很多数值积分技术，我建议 google 是你的朋友（或一本好的数值分析教科书）。
如果您确实有参数类型曲线，那么这是非常重要的。使用曲线之间的“区域”不是一个好主意，因为没有明确的方法来定义该区域，并且在您可以拥有自相交曲线的一般情况下会变得更加复杂。如果您的曲线以相同的方式参数化，您可以尝试一些非常粗略的测量，您可以在参数范围内以等距值评估每条曲线上的点，然后计算每条曲线之间的距离长度，求和并将平均值作为概念的“亲近”。即将您的参数范围划分为一组 {u_0, ... , u_n} 并为每个 i 评估 curve1(u_i) 和 curve2(u_i) 以生成一组 n 配对点。然后将每对点之间的欧几里得距离相加。
虽然这非常非常粗糙，如果参数化不同，那么它不会有太大用处。
【讨论】：
您需要定义曲线之间的距离是什么意思。如果它是两条一般曲线之间最接近的方法，那么解决这个问题就变得相当困难了。
如果“曲线”甚至不能表示为 x 的单值函数，那么它会变得更加复杂。
仅仅告诉我们您需要定义“某种距离”过于宽泛，无法成为此处的主题，而且它表示您还没有考虑到您希望解决的问题。
如果您只想告诉我们这些曲线是两条完全通用的参数曲线，它们可能是闭合的，也可能不是闭合的，或者它们甚至可能不在同一个域上，那么这个问题就变得完全不适定了无法回答。在这种情况下，两条曲线之间的面积是多少？
如果曲线是在 SAME 支持上定义的，那么减去它们并积分绝对值或差的平方就足够了。但是您已经告诉我们，这些“曲线”可能是多值的。在这种情况下，基本上不可能按照您的要求去做。
【讨论】：