计算 3d 中线段之间的垂直距离和角距离

Question

我正在用 C++ 实现一个聚类算法。具体来说，这个算法：http://www.cs.uiuc.edu/~hanj/pdf/sigmod07_jglee.pdf

在算法中的某一点（第 3.2 节 p4-5），我要计算两条线段之间的垂直距离和角距离（d┴ 和 dθ）：p1 到 p2，p1 到 p3。

自从我上数学课以来已经有一段时间了，我对这些实际上是什么概念以及如何计算它们有点动摇。有人可以帮忙吗？

Answer 1

要获得点 Q 到由两个点 P_1 和 P_2 定义的线的垂直距离，请计算：

d = DOT(Q, CROSS(P_1, P_2) )/MAG(P_2 - P_1)

其中DOT 是点积，CROSS 是向量叉积，MAG 是幅度 (sqrt(X*X+Y*Y+..))

使用图 5。您计算 d_1 从 sj 到线 (si->ei) 的距离和 d_2 从 ej 到同一线的距离。

我会建立一个基于三个点的坐标系，两个（P_1，P_2）用于一条线，第三个Q 用于其他的开始或结束线段。坐标系的三轴可以这样定义：

e = UNIT(P_2 - P_1)      // axis along the line from P_1 to P_2
k = UNIT( CROSS(e, Q) )  // axis normal to plane defined by  P_1, P_2, Q
n = UNIT( CROSS(k, e) )  // axis normal to line towards Q

其中UNIT() 是返回单位向量（幅度=1）的函数。

然后，您可以使用简单的点积确定所有投影长度。因此考虑图 5 中的线 si-ei 和点 sj，长度为：

(l || 1) = DOT(e, sj-si);
(l |_ 1) = DOT(n, sj-si);
ps = si + e * (l || 1)      //projected point

随着第二段ej的结束，需要计算新的坐标轴（e,k,n）

(l || 2) = DOT(e, ei-ej);
(l |_ 1) = DOT(n, ej-ei);
pe = ei - e * (l || 1)      //projected point

最终角度距离为

(d th)  = ATAN( ((l |_ 2)-(L |_ 1))/MAG(pe-ps) )

PS。您可能希望在 Math.SO 上发布此内容，以便获得更好的答案。

Answer 2

请看第 3 页的图 5。它画出了 d┴ 和 dθ 是什么。

编辑：“Lehmer 均值”是使用 Lp-space 约定定义的。因此，在 3 维中，您将使用 p = 3。假设两个起点之间的（欧几里德）距离为 d1，而终点之间的距离为 d2。然后d┴(L1, L2) = (d1^3 + d2^3) / (d1^2 + d2^2)。

要找到两个向量之间的角度，可以使用它们的dot product。范数（表示为||x||）计算为like this。