如何计算由二维点序列形成的多边形数量？答案

【问题标题】：How to calculate number of polygons that are formed by sequence of points in 2D?如何计算由二维点序列形成的多边形数量？
【发布时间】：2014-01-21 11:28:27
【问题描述】：

正如你可以看到下面的示例图片，我的问题是如何确定由一系列点形成的多边形。

在左图中，点的序列是{A, B, C, D, E, A}，所以它只是形成了1个多边形{A, B, C, D, E}。
在图片的右侧，点序列是{A, B, C, D, E, F, A}。它创建了 2 个多边形 {A, F, G} 和 {B, C, D, E, G}，其中 G 是 AB 线和 FE 线的交点。

我不仅对多边形的数量感兴趣，还想知道从中创建的多边形信息（多边形的一系列点）。

此算法将在移动设备中实时使用，因此它必须足够快才能进行计算。哦，这一系列的点将由用户的拖动触摸点产生。

假设：

仅由 2 个共线点组成
它并不总是闭合链多边形。比如右图，点序列是{A, B, C, D, E, F}，没有边FA。

我一直在思考解决方案，为了寻找交叉点，我坚持使用 O(N^2) 解决方案，N = 边数。我可以从中进行的优化是保持某些区域内的线组，所以我只是最小化可以相互计算的总线。

至于提取形成什么多边形的解决方案，我还是卡住了。

【问题讨论】：

你有坐标，对吧？
假设是什么？它总是一个封闭的多边形链吗？
共线点不超过两个？
@BartoszMarcinkowski：是的，我有坐标，它总是一个封闭的多边形链
@VikramBhat：好吧，为了简化问题，是的，不超过 2 个共线点

标签： algorithm graph-algorithm

【解决方案1】：

首先，找到所有线段交叉的点并创建新的线段，以使线段不再交叉（除了它们的末端）。然后将其视为一个图，并删除每个 1 度的顶点，直到所有这些都消失。

将所有段的所有边标记为未访问。对于分段(A, B) 的每个未访问侧S 步行A, B, C, ..., A 总是轮到您S 侧的最多（角度排序最小或最大）。你刚刚找到了一个多边形。这将为您提供一个额外的多边形，即“平面上的所有其余部分”。

总体复杂度 O(n^2)。

【讨论】：

我不认为你可以得到一个 1 度的顶点，因为之前和之后的所有东西都连接到顶点（并且 A 在最后一个顶点之后）。
@Agung 说它并不总是一个封闭的多边形链。
我认为您的解决方案将受益于对整体复杂性的分析 - 特别是显示查找所有交叉点的复杂性。其次，我认为您可能会遇到两个十字路口完全相同的问题。
好的，我将编辑具有整体复杂性的帖子。至于“同一个地方”——我认为这不是问题。
但是边缘被画到了右边的图片中。我认为他的意思是，优势不一定是给我们的。

【解决方案2】：

这是一个可能对您有所帮助的解决方案：-

查找多边形边线之间的交点。

制作包含交点和顶点的有向图，有向边作为多边形的边

执行 DFS 并维护另一个堆栈以放置访问过的顶点。当在 DFS 中重新访问访问的顶点时，然后弹出单独的堆栈直到那个顶点。弹出的顶点是多边形的顶点。这遇到访问顶点的次数是多边形的数量形成和弹出的顶点按顺序排列在多边形。

时间复杂度：-

1. Finding all intersections take O(NlogN) if efficient algorithms are used
2. O(N) for making graph out of intersections and vertices.
3. O(N) for DFS

总复杂度：-O(NlogN)

【讨论】：

如果最大可能的交叉点数为 O(n^2)，如何在 O(n log n) 中找到所有交叉点？（如果每个线段都相互交叉，除了相邻的两个）
更重要的是，图的大小不是 O(n)，因为它包含每个交点的顶点。该图的 DFS 时间复杂度也是 O(n^2)。
@BartoszMarcinkowski 对不起，但我说的是一般情况，我不是在这里证明最坏的情况，我很乐观，说 O(N^2) 交点非常罕见。请问你能给出四边多边形中的 16 个相交吗？
O(n^2) 并不意味着我可以给你 4 个边的 16 个交叉点。 n 边可能有多少个交叉点的确切值是 (n-1)*(n-2)/2，对于 n=4，它是 3，但对于 n=100，它是 4851。平均情况取决于我们正在处理的数据类型，我们不知道。无论如何，我的观点是，你提到的“高效算法”是不存在的（除非我的计算是错误的），而且你的解决方案的复杂度是 O(n^2)。
@BartoszMarcinkowski 如果您不了解 O(nlogn) 算法，请搜索 Bentley-Ottmann。我们正在处理的数据类型是路径，它们大多没有那么多交叉点，你从哪里得到 (n-1)*(n-2)/2 请你解释一下，因为如果有那么多交叉点我怀疑您将有一条连接的路径，但只是一组线