判断一个点是否在直角三角形内

Question

我一直想知道判断一个点是否位于三角形内的最简单方法，或者在这种情况下，是一个对角线切成两半的矩形。

假设我有一个 64x64 像素的矩形。对于这个矩形，如果传递的点在矩形的左上角内，我想返回一个 TRUE 值，如果不是，则返回 FALSE。

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糟糕的 ASCII 艺术万岁。

无论如何，这个三角形返回 TRUE 的假设点是 (0,0) 和 (63,0) 和 (0, 63)。如果一个点落在一条线上（例如 50,0），它也会返回 TRUE。

假设0,0在左上角并向下增加...

我已经想到了一个可能的解决方案，但它似乎比它应该的更复杂 - 获取传递的 Y 值，确定它在矩形中的位置，然后手动确定线会在哪里切割Y 值。例如，传递的 Y 值 16 将是矩形的四分之一高度。因此，根据您检查的哪一侧（左或右），线将是 16 像素或 48 像素，具体取决于线的方向。 在上面的示例中，由于我们正在测试左上角，高度为 16 像素，因此线条的宽度为 48 像素

必须有更好的方法。

编辑： 矩形也可以是这样的

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但我认为在大多数情况下，已经提供的当前答案应该仍然有效......

Answer 1

左上角/右下角三角形：对于左上角三角形中的所有点，x+y<=64。右下三角形中的点有x+y>64。

(对于大小为 (w,h) 的矩形，使用 w*y+h*x-w*h

右上角/左下角三角形：对于左下角三角形中的所有点，x<=y。右上角三角形中的点有x>y。

(对于大小为 (w,h) 的矩形，使用 h*x-w*y

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我们是如何到达那里的？

对于尺寸为 (w,h) 和 TL/BR 三角形的矩形， 对角线的方程是（试试看！分配 x=0 并检查是否得到 y==h , 并分配 y=0 并检查 x==w)

h*x + w*y - w*h = 0

该线一侧的点将有

h*x + w*y - w*h > 0

而另一个点会有

h*x + w*y - w*h < 0

为 w 和 h 插入 64，我们得到：

64x + 64y - 64*64 < 0

除以 64 得到我们：

x+y < 64

对于 TR/BL 三角形，直线方程和由此产生的不等式是：

h*x - w*y = 0
h*x - w*y < 0
h*x - w*y > 0

为 w 和 h 插入 64，我们得到

64x-64y < 0
=> x<y

Answer 2

你可以用三个仿射函数来表示三角形

取角在 (0, 0)、(1, 0) 和 (1, 1) 处的单位三角形。边用三条线表示

1. y = 0
2. x = 1
3. y = x

所以三角形的内部和边界作为集合的交集给出

1. x >= 1
2. y >= 0
3. y

所以给定一个点 (x, y)，您只需要验证它是否满足这三个不等式。

您当然可以使用任何仿射函数（表示一条线）都可以写成 y = mx + b 的形式将其推广到任何三角形。

Answer 3

直线方程如下所示：

y = mx + b

因此，如果您将 x 和 y 值插入该等式，它可能不再成立。让我们重新表述它：

mx + b - y = 0

相同的东西，不同的外观。同样，结果可能不为零。但是，结果现在会告诉您它是在线的一侧还是另一侧。

现在您只需要确定该点是否在您的矩形内。

Answer 4

假设您的直角三角形在 0,0 处有一个角，在 a,b 处有对角角。

所以 y=mx+c c=0，因为我们从原点开始。

m=b/a

所以 y=bx/a

要知道你的点 (c,d) 落在三角形的哪一半

if (d

if (d>(bc/a)) {//点在上半部分}

我觉得……

Answer 5

一个简单的选择是使用光线投射算法。虽然对于您需要的东西可能有点矫枉过正，但它确实具有可以处理更复杂的三角形和多边形的优势。

简单地说，该算法在一个方向上取一个假想点（例如，向左无限远）并将光线投射到您的测试点；然后，您计算三角形的每条线是否与那条无限长的线相交。如果你得到奇数个交叉点，你的点就在你的三角形里面；甚至你已经超出了你的三角形